Question

1) Cho A=44...4 (2n chữ số 4) và B=88...8(n chữ số 8) Chứng minh A+2B+4 là số chính phương

2) Cho đa thức P(x)= x^2+ax+b trong đó a, b là các số nguyên Biết rằng P(x) là 1 thừa số trong dạng phân tích thành nhân tử của các đa thức x^4+6x^2+25 và 3x^4+4x^2+28x+5 Tính P(2011) 

Answer 1

\(A=444....444=4.111.....111=4.\frac{10^{2n}-1}{9}\)

\(B=888.....888=8.111.....111=8.\frac{10^n-1}{9}\)

\(\Rightarrow A+2B+4=\frac{4.10^{2n}-4+16.10^n-16+36}{9}=\frac{4.10^{2n}+16.10^n+16}{9}=\left(\frac{2.10^n+4}{3}\right)^2\)

là số hính phương (đpcm)

Answer 2

2) Ta có :

\(x^4+6x^2+25=x^4+10x^2+25-4x^2=\left(x^2+5\right)^2-\left(2x\right)^2\)

\(=\left(x^2-2x+5\right)\left(x^2+2x+5\right)\)(1)

\(3x^4+4x^2+28x+5=\left(3x^4+6x^3+x^2\right)+\left(-6x^3-12x^2-2x\right)+\left(15x^2+30x+5\right)\)

\(=x^2\left(3x^2+6x+1\right)-2x\left(3x^2+6x+1\right)+5\left(3x^2+6x+1\right)\)

\(=\left(x^2-2x+5\right)\left(3x^2+6x+1\right)\)(2)

Từ (1) ; (2) \(\Rightarrow f\left(x\right)=x^2-2x+5\Rightarrow f\left(2011\right)=2011^2-2.2011+5=4040104\)