a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\) có
∠ADB = ∠AEC = 90\(^o\) (GT)
AB = AC (GT)
∠A chung
\(\Rightarrow\) \(\Delta ABD\) = \(\Delta ACE\) (cạnh huyền - góc nhọn)
\(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}BD=CE\\AE=AD\end{matrix}\right.\) (2 cạnh tương ứng) (❏)
Ta có: AB = AC (GT)
hay AE + BE = AD + CD
Mà AE = AD (chứng minh trên)
\(\Rightarrow\) BE = CD (❏)
b) Vì AE = AD (theo a)
\(\Rightarrow\) △AED cân tại A
\(\Rightarrow\) ∠AED = ∠ADE = (180o - ∠A) : 2 (1)
△ABC cân tại A (GT)
\(\Rightarrow\) ∠ABC = ∠ACB = (180o - ∠A) : 2 (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) ∠AED = ∠ABC
Mà ∠AED và ∠ABC là 2 góc đồng vị
\(\Rightarrow\) DE // BC (❏)
c) Xét △AEI và △ADI có
∠AEI = ∠ADI = 90o (GT)
Cạnh AI chung
AE = AD (theo a)
\(\Rightarrow\) △AEI = △ADI (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
\(\Rightarrow\) ∠EAI = ∠DAI (2 góc tương ứng)
\(\Rightarrow\) AI là phân giác ∠A (❏)