Áp dụng BĐT Côsi ta có :

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\\ b+c\ge2\sqrt{bc}\\ c+a\ge2\sqrt{ca}\\ \Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\\ \Leftrightarrow a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

Dấu bằng xảy ra <=> a=b=c

Vậy nếu \(a+b+c=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\) thì a=b=c (đpcm)

Câu a:

VT=n+1+n=2n+1 (1)

\(VP=n^2+2n+1-n^2=2n+1\) (2)

Từ (1) và (2) => VT=VP =>đpcm

Câu b) ý 2:

Áp dụng BĐT cô si ta có :

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{c}}\\ \dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{a}}\\ \dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{b}}\\ \Leftrightarrow2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\ge2\left(\sqrt{\dfrac{a}{c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{c}{b}}\right)\\ \Rightarrowđpcm\)

Câu b nhé:

Ta có:

\(\dfrac{1}{\sqrt{25}+\sqrt{24}}+\dfrac{1}{\sqrt{24}+\sqrt{23}}+\dfrac{1}{\sqrt{23}+\sqrt{22}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}\\ =\dfrac{\sqrt{25}-\sqrt{24}}{\left(\sqrt{25}+\sqrt{24}\right)\left(\sqrt{25}-\sqrt{24}\right)}+\dfrac{\sqrt{24}-\sqrt{23}}{\left(\sqrt{24}+\sqrt{23}\right)\left(\sqrt{24}-\sqrt{23}\right)}+...+\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)}\\ =\sqrt{25}-\sqrt{24}+\sqrt{24}-\sqrt{23}+...+\sqrt{2}-\sqrt{1}\\ =5-1=4\left(đpcm\right)\)

Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là a và b (m, a>b>0)

Hình chữ nhật có diện tích là 180m^2

=> a.b=180 (1)

Hình chữ nhật có chu vi là 54m

=> (a+b).2=54 => a+b=27 => a=27-b (2)

Thay (2) vào (1) ta được phương trình:

(27-b)b=180

<=>27b-b^2=180

<=>b^2-27b+180=0

<=>(b-12)(b-15)=0

<=>\(\left[{}\begin{matrix}b=12\\b=15\end{matrix}\right.\)

Với b=12 => a=15( thoả mãn điều kiện)

b=15 =>a=12(loại)

Vậy chiều dài và rộng của mảnh đất lần lượt là 15m và 12m

Ta có : (P) \(y=x^2\)

(d) y=\(\dfrac{-1}{2}x+\dfrac{3}{2}\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

\(x^2=\dfrac{-1}{2}x+\dfrac{3}{2}\)

\(x^2+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2}=0\\ \Leftrightarrow x^2+\dfrac{3}{2}x-x-\dfrac{3}{2}=0\\\Leftrightarrow x\left(x+\dfrac{3}{2}\right)-\left(x+\dfrac{3}{2}\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+\dfrac{3}{2}\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=\dfrac{-3}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy hoành độ giao điểm của (P) và (d) là 1 và \(\dfrac{-3}{2}\)

Câu c có sai đề bài không bạn

Bạn tự vẽ hình nhé!

b) Xét tam giác ABC

Có: BC//OM (chứng minh câu a )

O là trung điểm của AB

=> M là trung điểm của AC ( định lý 1 của đường trung bình )(đpcm)

Câu trả lời trước bị sai nên làm lại.

Ta có:Q=\(\dfrac{2y+3x}{xy}+\dfrac{6}{3x+2y}=\dfrac{3x+2y}{6}+\dfrac{6}{3x+2y}\)vì xy=6

Đặt t=3x+2y => t\(\ge2\sqrt{2.y.3.x}\)=12

Theo bđt cô si và t \(\ge\)12 ta được :

Q=\(\left(\dfrac{t}{6}+\dfrac{24}{t}\right)-\dfrac{18}{t}\ge2\sqrt{\dfrac{t}{6}.\dfrac{24}{t}}-\dfrac{18}{t}=\dfrac{5}{2}\)

Đẳng thức xảy ra <=> x=2 và y=3

G=\(\dfrac{25}{f}\)

G:số bội giác

f: số tiêu cự