Cho tam giác ABC, I là trung điểm BC , P là điểm đối xứng với A qua B. R là điểm trên AC sao cho \(AR=\dfrac{2}{5}AC\), G là trọng tâm tam giác ABI. CMR: P, R, G thẳng hàng, G là trọng tâm tam giác ABI

Cho tam giác ABC. Gọi A', B', C' thỏa mãn:

\(2018\overrightarrow{A'B}+2019\overrightarrow{A'C}=\overrightarrow{0}\)

\(2018\overrightarrow{B'C}+2019\overrightarrow{B'A}=\overrightarrow{0}\)

\(2018\overrightarrow{C'A}+2019\overrightarrow{C'B}=\overrightarrow{0}\)

Chứng minh tam giác ABC và tam giác A'B'C' có cùng trọng tâm.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn (O), đường kính AB cắt các đoạn BC và OC lần lượt tại D và I. Gọi H là hình chiếu của A lên OC; AH cắt BC tại M.

a/ CM: Tứ giác ACDH nội tếp; \(\widehat{CHD}=\widehat{ABC}\)

b/ CM: 2 tam giác OHB và OBC đồng dạng; HM là tia phân giác góc BHD

c/ Gọi K là trung điểm của BD. CM: MD.BC = MB.CD và MB.MD = MK.MC

d/ Gọi E la trung điểm của AM và OK; J là giao điểm của IM với (O) \(\left(J\ne I\right)\). CM: OC và Ẹ cắt nhau tại một điểm nằm trên (O).

Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn abc=1. Tìm GTNN của biểu thức \(P=\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}+\dfrac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)

Giải phương trình: \(\left(x^3-4\right)^3=\left(\sqrt[3]{\left(x^2+4\right)^2}+4\right)^2\)

Cho a, b, c > 0 thoã mãn: ab + bc + ca = 3. CMR: \(\dfrac{1}{1+a^2\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{1+b^2\left(c+a\right)}+\dfrac{1}{1+c^2\left(a+b\right)}\le\dfrac{3}{abc}\)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R). Gọi I là giao điểm AC và BD. Kẻ IH vuông góc với AB; IK vuông góc với AD \(\left(H\in AB;K\in AD\right)\).

a/ CM tứ giác AHIK nội tiếp

b/ CM: IA.IC=IB.ID

c/ CMR: tam giác HIK và tam giác BCD đồng dạng

d/ Gọi S là diện tích tam giác ABD, S' là diện tích tam giác HIK. CMR: \(\dfrac{S'}{S}\le\dfrac{HK^2}{4AI^2}\)

Cho tam giác nhọn ABC có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của AH.

1/ CM: AEHF nội tiếp

2/ CM: CE.CA=CB.CD

3/ CM: EM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF

4/ Gọi I va J tương ứng tâm đường tròn nội tiếp 2 tam giác BD và EDC. CM: \(\widehat{DIJ}=\widehat{DFC}\)