HOC24
Lớp học
Môn học
Chủ đề / Chương
Bài học
Cho m, n là các số nguyên dương lẻ tm m^2+2 chia hết cho n, N^2 +2 chia hết cho m
CMR m^2+n^2+2 chia hết cho 4mn
Áp dụng BĐT Cauchy ta được
\(3=x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{xyz}\Rightarrow xyz\le1\)
Do đó: \(\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}=\dfrac{x\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{xyz}}+\dfrac{y\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{xyz}}+\dfrac{z\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{xyz}}\ge x\sqrt[3]{x}+y\sqrt[3]{y}+z\sqrt[3]{z}\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT bunhia copxki ta được
(\(x\sqrt[3]{x}+y\sqrt[3]{y}+z\sqrt[3]{z}\))(\(\left(\sqrt[3]{z^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{z^2}\right)\)\(\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=9\)
Mặt khác \(\sqrt[3]{x^2}=\sqrt[3]{x^2.1.1}\le\dfrac{x^2+1+1}{3}=\dfrac{x^2+2}{3}\)
Tương tự \(\sqrt[3]{y^2}\le\dfrac{y^2+2}{3},\sqrt[3]{z^2}\le\dfrac{z^2+2}{3}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{z^2}\le\dfrac{x^2+y^2+z^2+6}{3}=3\)
Do đó \(x\sqrt[3]{x}+y\sqrt[3]{y}+z\sqrt[3]{z}\ge3\)=\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)x=y=z=1
mấy dạng toán kiểu này khó lắm
Đặt \(\sqrt[3]{2-x}\)=a, \(\sqrt{x-1}\)=b ( với b>=0)
\(\Rightarrow\)a+b=1\(\Leftrightarrow\)b=a-1
Lại có: a\(^3\)+b\(^2\)=(2-x)+(x-1)=1
\(\Rightarrow\) a\(^3\)+(a-1)\(^2\)=1
\(\Leftrightarrow\)a\(^3\)+a\(^2\)-2a=0
\(\Leftrightarrow\)a(a+2)(a-1)=0
\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}a=0\\a=1\\a=-2\end{matrix}\right.\)
với a=0 \(\Rightarrow\)\(\sqrt[3]{2-x}\)=0\(\Leftrightarrow\)x=2
với a=1\(\Rightarrow\)\(\sqrt[3]{2-x}=1\Leftrightarrow x=1\)
với a=-1\(\Rightarrow\sqrt[3]{2-x}=-1\Leftrightarrow x=3\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=1, x=2, x=3
Mình không chắc lắm đâu
cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn a+b+c=1
tìm gtln cả P=\(\sqrt{a+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{4}}\)+\(\sqrt{b+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{4}}\)+\(\sqrt{c+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}}\)
cho a b c là các số thực dương. cmr a^3/(a^2+b^2)+b^3/(b^2+1)+1/(a^2+1)>=(a+b+1)/2
cho 3 số a,b,c khác o thỏa mãn 1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c) Tinh gtbt M=(a^3+b^3)(b^7+c^7)(a^2011+b^2011)