a: Xét tứ giác OPMB có \(\widehat{OPM}+\widehat{OBM}=90^0+90^0=180^0\)

nên OPMB là tứ giác nội tiếp

=>O,P,M,B cùng thuộc một đường tròn 

b: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của BA(1)

ta có: OB=OA

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của AB

=>MO\(\perp\)AB tại H

Xét (O) có

\(\widehat{MAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AC

\(\widehat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{MAC}=\widehat{ADC}\)

Xét ΔMAC và ΔMDA có

\(\widehat{MAC}=\widehat{MDA}\)

\(\widehat{AMC}\) chung

Do đó: ΔMAC~ΔMDA

=>\(\dfrac{MA}{MD}=\dfrac{MC}{MA}\)

=>\(MA^2=MD\cdot MC\left(3\right)\)

Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao

nên \(MH\cdot MO=MA^2\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra \(MD\cdot MC=MH\cdot MO\)

=>\(\dfrac{MH}{MD}=\dfrac{MC}{MO}\)

Xét ΔMHC và ΔMDO có

\(\dfrac{MH}{MD}=\dfrac{MC}{MO}\)

\(\widehat{HMC}\) chung

Do đó: ΔMHC~ΔMDO

=>\(\widehat{MHC}=\widehat{MDO}\)

=>\(\widehat{CHO}+\widehat{CDO}=180^0\)

=>OHCD nội tiếp

Bài 88:

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=2\left(m-1\right)x+3-2m\)

=>\(x^2-x\left(2m-2\right)+2m-3=0\)

\(\text{Δ}=\left(2m-2\right)^2-4\left(2m-3\right)\)

\(=4m^2-8m+4-8m+12\)

\(=4m^2-16m+16=\left(2m-4\right)^2\)>=0 với mọi m

Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt thì Δ>0

=>\(2m-4\ne0\)

=>\(m\ne2\)

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2m-2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=2m-3\end{matrix}\right.\)

Để x1,x2 là độ dài hai cạnh có độ dài đường chéo là căn 10 thì \(x_1^2+x_2^2=10\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=10\)

=>\(\left(2m-2\right)^2-2\left(2m-3\right)=10\)

=>\(4m^2-8m+4-4m+6-10=0\)

=>\(4m^2-12m=0\)

=>m(m-3)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=0\left(nhận\right)\\m=3\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Gọi vận tốc lúc đầu của xe máy là x(km/h)

(Điều kiện: x>10)

Thời gian xe máy đi 3/4 quãng đường đầu tiên là:

\(\dfrac{\dfrac{3}{4}\cdot120}{x}=\dfrac{90}{x}\left(giờ\right)\)

Thời gian xe máy đi 1/4 quãng đường còn lại là:

\(\dfrac{\dfrac{1}{4}\cdot120}{x-10}=\dfrac{30}{x-10}\left(giờ\right)\)

Tổng thời gian cả đi lẫn về là:

11h-7h-45p=3h15p=3,25(giờ)

Do đó, ta có phương trình: \(\dfrac{90}{x}+\dfrac{30}{x-10}=3,25\)

=>\(\dfrac{90x-900+30x}{x\left(x-10\right)}=3,25\)

=>3,25x(x-10)=120x-900

=>\(3,25x^2-32,5x-120x+900=0\)

=>\(3,25x^2-152,5x+900=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=40\left(nhận\right)\\x=\dfrac{90}{13}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: Vận tốc ban đầu là 40km/h

Thời gian đi 90km đầu tiên là \(\dfrac{90}{40}=2,25\left(giờ\right)=2h15p\)

Xe máy bị hỏng lúc:

7h+2h15p=9h15p

a: Thay m=-6 vào (d), ta được:

\(y=x-2\cdot\left(-6\right)=x+12\)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=x+12\)

=>\(x^2-x-12=0\)

=>(x-4)(x+3)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=-3\end{matrix}\right.\)

Thay x=4 vào y=x², ta được:

\(y=4^2=16\)

Thay x=-3 vào y=x², ta được:

\(y=\left(-3\right)^2=9\)

vậy: (P) giao (d) là A(4;16); B(-3;9)

a: ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\x\ne1\end{matrix}\right.\)

\(P=\dfrac{x\sqrt{x}-1}{x-1}-\dfrac{x-7\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-7\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{\sqrt{x}-7}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{x+8}{\sqrt{x}+1}\)

b: \(P=\dfrac{x+8}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{x-1+9}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}-1+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\sqrt{x}+1+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}-2>=2\cdot\sqrt{\left(\sqrt{x}+1\right)\cdot\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}}-2=2\cdot3-2=4\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\sqrt{x}+1=\sqrt{9}=3\)

=>x=4(nhận)

Câu 1: Thay x=1 vào phương trình, ta được:

\(1^2-3\cdot1+m=0\)

=>m+1-3=0

=>m=2

=>Chọn B

Câu 2: ĐKXĐ: x-2024>=0

=>x>=2024

=>Chọn B

Câu 3: ΔABC vuông cân tại A

=>AB=AC=2cm

ΔABC vuông tại A

=>\(BC^2=AB^2+AC^2=2^2+2^2=8\)

=>\(BC=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\left(cm\right)\)

=>Chọn A

Câu 4:

Xét tứ giác MAOB có \(\widehat{MAO}+\widehat{MBO}+\widehat{AOB}+\widehat{AMB}=360^0\)

=>\(\widehat{AOB}+60^0+90^0+90^0=360^0\)

=>\(\widehat{AOB}=120^0\)

=>Chọn C

a: Ta có: \(\widehat{ONM}=\widehat{OAM}=\widehat{OBM}=90^0\)

=>O,N,M,A,B cùng thuộc đường tròn đường kính OM

tâm I là trung điểm của OM

b: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB và OM là phân giác của góc AOB

=>\(\widehat{AOM}=\widehat{BOM}\)

Xét (I) có

\(\widehat{AOM}\) là góc nội tiếp chắn cung AM

\(\widehat{BOM}\) là góc nội tiếp chắn cung BM

\(\widehat{AOM}=\widehat{BOM}\)

Do đó: \(sđ\stackrel\frown{AM}=sđ\stackrel\frown{BM}\)

Xét (I) có

\(\widehat{ANM}\) là góc nội tiếp chắn cung AM

\(\widehat{BNM}\) là góc nội tiếp chắn cung BM

\(sđ\stackrel\frown{AM}=sđ\stackrel\frown{BM}\)

Do đó: \(\widehat{ANM}=\widehat{BNM}\)

=>NM là phân giác của góc ANB