1. ANN: I've called Howard ten times, I'm sure. He doesn't answer his cell phone.

   SAM: He **didn't remember** you were going to call him. He's a little forgetful, you know. I'll bet he forgot to turn his phone on.

2. LAWYER: Mr. Jones, where were you on the night of June 24th?

   MR. JONES: I was at home. I was at home all night.

   LAWYER: You **weren't** at home on that night, Mr. Jones.

   Four witnesses saw you at the victim's apartment.

3. Jim: Look! There are lights on in the Thompsons' house. Didn't they go away on vacation?

   ANN: They **haven't left** yet. Or maybe they left the automatic timer on to deter burglars.

4. Boa: Hey, you guys! You are not supposed to ride your bikes on the sidewalk! You could crash into someone!

   SUE: They **didn't hear** you, Bob. Look! They just kept going.

5. Scientists are not sure why the Mayan civilization collapsed. The Mayans **didn't have** enough to eat, or perhaps their enemies became too strong for them.

6. After his voyage on the Kon Tiki, Thor Heyerdahl set forth the theory that modern Polynesians descended from ancient South Americans. However, later scientists believe this **didn't happen**. They believe it was impossible because of recent DNA evidence to the contrary.

1. Travel broadens one's horizons. Everyone should have traveled or should travel.
2. We did not travel to Africa when we had the opportunity last year. We should have gone at that time.
3. Our house will look much better with a fresh coat of paint. It will look good in yellow. I think we should paint our house, and the color should be yellow.
4. We painted our house. Now it's white and has beige shutters. It doesn't look good. We should not have painted our house in such dull colors.
5. Ernie is allergic to shellfish. Last night he ate shellfish, and he broke out with terrible hives. Ernie should not have eaten that shellfish.
6. Some people are sensitive to caffeine. They cannot fall asleep at night if they drink coffee in the afternoon. These people should not drink coffee after 12:00 P.M. They should drink decaffeinated coffee or tea instead.
7. Years ago, people did not realize that some species were dying off because of human activity. For example, many buffalo in North America were killed because of human thoughtlessness. As a result, there are few buffalo left in North America. People should not have killed those buffalo.
8. Today, people are making efforts to save the environment and to save endangered species. We should take strong efforts to recycle, conserve our resources, and nourish endangered species.

ĐKXĐ: n<>-1/3

Để A là số nguyên thì \(6n⋮3n+1\)

=>\(6n+2-2⋮3n+1\)

=>\(-2⋮3n+1\)

=>\(3n+1\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)

=>\(n\in\left\{0;-\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};-1\right\}\)

Để \( A \) là một số nguyên, ta cần tìm giá trị của \( n \) sao cho phần tử số hạng của \( A \) là một số nguyên. Điều này đồng nghĩa với việc \( 6n \) chia hết cho \( 3n + 1 \) mà không dư.

Ta có thể viết phương trình này dưới dạng:

\[ \frac{6n}{3n + 1} = k \]

Trong đó \( k \) là một số nguyên dương.

Để giải phương trình này, chúng ta có thể nhân cả hai vế của phương trình với \( 3n + 1 \), ta được:

\[ 6n = k(3n + 1) \]

Mở ngoặc:

\[ 6n = 3kn + k \]

\[ 6n - 3kn = k \]

\[ n(6 - 3k) = k \]

\[ n = \frac{k}{6 - 3k} \]

Để \( n \) là một số nguyên dương, \( k \) phải là một ước số của 6-3k.

Ta sẽ kiểm tra các giá trị của \( k \) từ 1 đến 6, vì \( k \) là một ước số của 6-3k:

1. Khi \( k = 1 \): \( 6 - 3 \times 1 = 3 \), 6 không chia hết cho 3, không thỏa mãn.
2. Khi \( k = 2 \): \( 6 - 3 \times 2 = 0 \), không hợp lệ vì chia cho 0.
3. Khi \( k = 3 \): \( 6 - 3 \times 3 = -3 \), không phải số nguyên dương.
4. Khi \( k = 4 \): \( 6 - 3 \times 4 = -6 \), không phải số nguyên dương.
5. Khi \( k = 5 \): \( 6 - 3 \times 5 = -9 \), không phải số nguyên dương.
6. Khi \( k = 6 \): \( 6 - 3 \times 6 = -12 \), không phải số nguyên dương.

Không có giá trị của \( k \) nào làm cho \( n \) là một số nguyên dương. Điều này ngụ ý rằng không có giá trị của \( n \) nào thỏa mãn điều kiện để \( A \) là một số nguyên.

a: Xét tứ giác ADHE có \(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>DE=AH

Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHCA vuông tại H có

\(\widehat{HAB}=\widehat{HCA}\left(=90^0-\widehat{HBA}\right)\)

Do đó: ΔHAB~ΔHCA

=>\(\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{HB}{HA}\)

=>\(HA^2=HB\cdot HC=DE^2\)

b: Xét ΔDHA vuông tại D và ΔDBH vuông tại D có

\(\widehat{DHA}=\widehat{DBH}\left(=90^0-\widehat{HAB}\right)\)

Do đó: ΔDHA~ΔDBH

=>\(\dfrac{DH}{DB}=\dfrac{DA}{DH}\)

=>\(DH^2=DA\cdot DB\)

Xét ΔEAH vuông tại E và ΔEHC vuông tại E có

\(\widehat{EAH}=\widehat{EHC}\left(=90^0-\widehat{C}\right)\)

Do đó: ΔEAH~ΔEHC

=>\(\dfrac{EA}{EH}=\dfrac{EH}{EC}\)

=>\(EH^2=EA\cdot EC\)

ADHE là hình chữ nhật

=>\(DE^2=HD^2+HE^2\)

=>\(AH^2=AD\cdot DB+AE\cdot EC\)

c: ΔBAC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MC

=>ΔMAC cân tại M

=>\(\widehat{MAC}=\widehat{MCA}\)

Ta có:ADHE là hình chữ nhật

=>\(\widehat{AED}=\widehat{AHD}\)

mà \(\widehat{AHD}=\widehat{B}\left(=90^0-\widehat{HAB}\right)\)

nên \(\widehat{AED}=\widehat{B}\)

\(\widehat{AED}+\widehat{MAC}=\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)

=>DE\(\perp\)AM

_{^{Tham khảo:}}

a) Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên \(AB\). Khi đó, ta có hai tam giác vuông \(OAH\) và \(OBH\).

Trong tam giác \(OAH\), ta có:
\[\frac{OA}{AH} = \frac{OD}{BD} \quad (1)\]

Trong tam giác \(OBH\), ta có:
\[\frac{OB}{BH} = \frac{OC}{AC} \quad (2)\]

Nhân cả hai phương trình (1) và (2), ta được:
\[\frac{OA}{AH} \times \frac{OB}{BH} = \frac{OD}{BD} \times \frac{OC}{AC}\]

\[OA \times OB = \frac{AH \times BH \times OD \times OC}{BD \times AC}\]

Do đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(O\), nên \(AH \times BH = OH^2\) (vì \(OH\) là đường cao của tam giác \(OAB\)), \(OD \times OC = OD \times OC\) (vì \(OD\) và \(OC\) là đường cao của tam giác \(OCD\)), nên:
\[OA \times OB = \frac{OH^2 \times OD \times OC}{BD \times AC}\]

\[OA \times OB = \frac{OD \times OC \times OH^2}{BD \times AC}\]

Nhưng ta biết rằng \(OH^2 = OA \times OB\), từ đó suy ra \(OA \times OB = OA \times OB\).

Vậy, \(OA \times OB = OA \times OB\), điều này đã được chứng minh.

b) Ta có thể sử dụng định lí hình chiếu góc bằng nhau để chứng minh rằng \(OM = ON\). Cụ thể, ta có hai tam giác vuông \(OAM\) và \(OBN\) có:
\[\angle OAM = \angle OBN\]
\[\angle AOM = \angle BON = 90^\circ\]

Vì vậy, các tam giác \(OAM\) và \(OBN\) đồng dạng theo góc và cạnh nên \(OM = ON\).

a: Xét ΔOAB và ΔOCD có

\(\widehat{OAB}=\widehat{OCD}\)(AB//CD)

\(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAB~ΔOCD

=>\(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}\)

=>\(\dfrac{OC}{OA}=\dfrac{OD}{OB}\)

=>\(\dfrac{OC+OA}{OA}=\dfrac{OD+OB}{OB}\)

=>\(\dfrac{AC}{OA}=\dfrac{BD}{OB}\)

=>\(AC\cdot OB=AO\cdot BD\)

b: Xét ΔADC có OM//DC

nên \(\dfrac{OM}{DC}=\dfrac{AO}{AC}\left(1\right)\)

Xét ΔBDC có ON//DC

nên \(\dfrac{ON}{DC}=\dfrac{BO}{BD}\left(2\right)\)

Ta có: \(\dfrac{AC}{OA}=\dfrac{BD}{OB}\)

=>\(\dfrac{AO}{AC}=\dfrac{OB}{BD}\left(3\right)\)

Từ (3),(2),(1) suy ra OM=ON

Tham khảo

a) Ta có:
\[\angle CKP = \angle CAH = 90^\circ \] (vì AH là đường cao của tam giác ABC)
\[ \angle KCP = \angle KAH \] (vì CP song song với AH)
\[ KP = AH \] (theo định lí về đường cao trong tam giác vuông)
\[ KC = KH \] (vì \( KH = AH \))

Do đó, tam giác \(KPC\) đồng dạng với tam giác \(AHC\) (cùng có một góc vuông, và góc tại \(K\) bằng góc tại \(A\)).

b) Từ phần a), ta biết \(KC = AH\) và \(CP = KH\).
\[ \frac{CK}{AH} = \frac{CP}{KH} \]
\[ \frac{CK}{AC} = \frac{CP}{CP + PH} \]
\[ CK \times CP + CK \times PH = AC \times CP \]
\[ CK \times CP + AH \times PH = AC \times CP \]
\[ CP \times (CK + PH) = AC \times CP \]
\[ CK + PH = AC \]

Vậy \(CB \times CK = CA \times CP \).

Từ phần a), tam giác \(KPC\) đồng dạng với tam giác \(AHC\), nên \(\frac{CK}{AC} = \frac{AH}{AB}\).
\[ CK = \frac{AC \times AH}{AB} \]

\(AH\) là đường cao của tam giác ABC, nên \(AH = \frac{AB \times AC}{BC}\).
\[ CK = \frac{AC^2}{BC} \]

Tương tự,
\[ CP = \frac{AC^2}{BC + AC} \]

\[ CB \times CK = CA \times CP \]

Ta chứng minh được \(CB \times CK = CA \times CP \).

Ta có:
\[\angle CAK = \angle CBP = 90^\circ \] (vì \(AK \parallel CP\), cả hai đường thẳng đều vuông góc với AC)
\[ \angle CKA = \angle BCP \] (vì \(CK \parallel AB\))
\[ AK = BP \] (vì \(AK \parallel BP\) và \(AK = BP = \frac{1}{2} BC\) - đường trung bình của tam giác \(ABC\))

Do đó, tam giác \(CAK\) đồng dạng với tam giác \(CBP\).

c) Gọi \(Q\) là trung điểm của \(BP\).
\[ \frac{PH}{CP} = \frac{1}{2} \]
\[ PH = \frac{1}{2} CP \]

\(K\) là điểm trên tia đối của \(BC\) sao cho \(KH = AH\), nên \(KH = \frac{1}{2} BC\).
\[ AK = \frac{1}{2} BC \]

Vậy, \(QH\) là đoạn thẳng cắt đôi \(AK\).

a: Ta có: AH\(\perp\)BC

KP//AH

Do đó: KP\(\perp\)BC

Xét ΔACB vuông tại A và ΔKCP vuông tại K có

\(\widehat{ACB}\) chung

Do đó: ΔACB~ΔKCP

b: ΔACB~ΔKCP

=>\(\dfrac{CA}{CK}=\dfrac{CB}{CP}\)

=>\(\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{CK}{CP}\)

=>\(CA\cdot CP=CK\cdot CB\)

Xét ΔCAK và ΔCBP có

\(\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{CK}{CP}\)

\(\widehat{ACK}\) chung

Do đó: ΔCAK~ΔCBP

c: ΔBAP vuông tại A

mà AQ là đường trung tuyến

nên \(AQ=\dfrac{BP}{2}\left(1\right)\)

Ta có: ΔKPB vuông tại K

mà KQ là đường trung tuyến

nên \(KQ=\dfrac{BP}{2}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra QA=QK

=>Q nằm trên đường trung trực của AK(3)

Ta có: HA=HK

=>H nằm trên đường trung trực của AK(4)

Từ (3),(4) suy ra QH là đường trung trực của AK