a: Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AEHF là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BFEC có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

b: BFEC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{BFE}+\widehat{BCE}=180^0\)

mà \(\widehat{KFB}+\widehat{BFE}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{KFB}=\widehat{KCE}\)

Xét ΔKFB  và ΔKCE có

\(\widehat{KFB}=\widehat{KCE}\)

\(\widehat{FKB}\) chung

Do đó: ΔKFB~ΔKCE
=>\(\dfrac{KF}{KC}=\dfrac{KB}{KE}\)

=>\(KF\cdot KE=KB\cdot KC\)

Xét (O) có

\(\widehat{KMB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến MK và dây cung MB

\(\widehat{MCB}\) là góc nội tiếp chắn cung MB

Do đó: \(\widehat{KMB}=\widehat{MCB}\)

Xét ΔKMB và ΔKCM có

\(\widehat{KMB}=\widehat{KCM}\)

\(\widehat{MKB}\) chung

Do đó: ΔKMB~ΔKCM

=>\(\dfrac{KM}{KC}=\dfrac{KB}{KM}\)

=>\(KM^2=KB\cdot KC=KE\cdot KF\)

Gọi hai số cần tìm có dạng là a,b

Tỉ số của số thứ nhất và số thứ hai là 4:3 nên \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{4}{3}\)

=>3a=4b

Nếu thêm vào số thứ nhất 5 đơn vị thì tỉ số giữa hai số là 11:7 nên ta có: \(\dfrac{a+5}{b}=\dfrac{11}{7}\)

=>7(a+5)=11b

=>11b=7a+35

=>7a-11b=-35

mà 3a=4b 

nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}7a-11b=-35\\3a=4b\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{4}{3}b\\7\cdot\dfrac{4}{3}b-11b=-35\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{4}{3}b\\-\dfrac{5}{3}b=-35\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=21\\a=\dfrac{4}{3}\cdot21=28\end{matrix}\right.\)

Vậy: Hai số cần tìm là 28 và 21

Gọi hai số cần tìm là \(x\) và \(y\). Theo điều kiện đầu tiên, ta có tỉ số của \(x\) và \(y\) là 4:3, tức là:

\(\dfrac{x}{y}=\dfrac{4}{3}\)

Theo điều kiện thứ hai, nếu tăng thêm vào \(x\) 5 đơn vị và giữ nguyên \(y\) thì tỉ số của \(x+5\) và \(y\) là 11:7, tức là:

\(\dfrac{x+5}{y}=\dfrac{11}{7}\)

Do tỉ số giữa 2 số là 4:3, gọi số thứ nhất là \(4a\Rightarrow\) số thứ hai là \(3a\)

Tăng vào số thứ nhất 5 đơn vị thì số thứ nhất khi đó là: \(4a+5\)

Tỉ số giữa 2 số khi đó:

\(\dfrac{4a+5}{3a}=\dfrac{11}{7}\Rightarrow7\left(4a+5\right)=11.3a\)

\(\Rightarrow28a+35=33a\)

\(\Rightarrow5a=35\)

\(\Rightarrow a=7\)

Vậy số thứ nhất là \(4.7=28\), số thứ hai là \(3.7=21\)

Gọi số học sinh lúc đầu nhóm có là x(bạn)

(ĐIều kiện: \(x\in Z^+\))

Số cây ban đầu mỗi bạn phải trồng là \(\dfrac{30}{x}\left(cây\right)\)

Số bạn lúc sau của nhóm là x-2(bạn)

Số cây thực tế mỗi bạn phải trồng là \(\dfrac{30}{x-2}\left(cây\right)\)

Mỗi bạn còn lại phải trồng thêm 4 cây nữa nên ta có phương trình:

\(\dfrac{30}{x-2}-\dfrac{30}{x}=4\)

=>\(\dfrac{15}{x-2}-\dfrac{15}{x}=2\)

=>\(\dfrac{15x-15x+30}{x\left(x-2\right)}=2\)

=>x(x-2)=15

=>\(x^2-2x-15=0\)

=>(x-5)(x+3)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=5\left(nhận\right)\\x=-3\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: Số học sinh ban đầu của nhóm là 5 bạn

Gọi số học sinh ban đầu là x (với x nguyên dương, x>2)

Theo kế hoạch mỗi bạn phải trồng: \(\dfrac{30}{x}\) cây

Số học sinh thực tế trồng cây: \(x-2\) bạn

Thực tế mỗi bạn phải trồng số cây là: \(\dfrac{30}{x-2}\) cây

Do mỗi bạn phải trồng thêm 4 cây nữa nên ta có pt:

\(\dfrac{30}{x-2}-\dfrac{30}{x}=4\)

\(\Rightarrow15x-15\left(x-2\right)=2x\left(x-2\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^2-4x-30=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=-3\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Có gì sai sai nhỉ?