§5. Dấu của tam thức bậc hai

TH1 : \(x\ge m\)

\(PT\Leftrightarrow2x^2+2\left(m+1\right)x-m^2-1=x^2-2mx+m^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+2\left(2m+1\right)x-2m^2-1=0\)

Có \(\Delta^,=b^{,2}-ac=4m^2+4m+1+2m^2+1=6m^2+4m+2\)

- Thấy \(\Delta^,\ge\dfrac{4}{3}>0\)

- Nên để PT có nghiệm thì \(x_1>x_2>m\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(m\right)>0\\-\left(2m+1\right)>m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2+2\left(2m+1\right)m-2m^2-1>0\\-\left(2m+1\right)-m>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3m^2+2m-1>0\\3m+1< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m< -1\\m>\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\\m< -\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m< -1\)

TH2 : \(\left\{{}\begin{matrix}x< m\\2x^2+2\left(m+1\right)x-m^2-1\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x< m\\\Delta^,=3m^2+2m+3\le0\end{matrix}\right.\)

<=> Loại .

Vậy để .... <=> m < - 1 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-4x\ge0\\2x+1\ge0\\2x+1>1-4x\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le\dfrac{1}{4}\\x\ge-\dfrac{1}{2}\\x>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow0< x\le\dfrac{1}{4}\)

`\sqrt{8+2x-x^2}+3x>6`

`đkxđ:-2<=x<=4`

`bpt<=>\sqrt{8+2x-x^2}>6-3x`

Đp bp 2 vế:`x<=2`

`<=>8+2x-x^2>9x^2-36x+36`

`<=>10x^3-38x+28<0`

`<=>5x^2-19x+14<0`

`<=>(x-1)(5x-14)<0`

`<=>1<x<14/5`

Kết hợp đkxđ:

`1<x<=2`

`=>S=(1,2]`

`=>ab=2`

`=>` chọn A

Ta có : \(\left(m-2\right)x^2+3\left(m-2\right)x+7\ge0\left(1\right)\)

TH1: \(m-2=0\Leftrightarrow m=2\) , (1) trở thành :

\(7\ge0\Rightarrow\left(1\right)luon.dung\)

TH2: \(m-2\ne0\Leftrightarrow m\ne2\)

(1) đúng \(\Leftrightarrow m-2>0;\Delta\ge0\Leftrightarrow m>2;\left(3m-6\right)^2-4\cdot\left(m-2\right)\cdot7\ge0\\ \Leftrightarrow m>2;9m^2-64m+92\ge0\\ \Leftrightarrow\begin{matrix}m>2;m\le2\\m>2;m\ge\dfrac{46}{9}\end{matrix}\Leftrightarrow m\ge\dfrac{46}{9}\)

Vậy tập nghiệm của m là \(S=\left\{2\right\}\cup\text{[}\dfrac{49}{6};+\text{∞)}\)

\(a=m^2+m+1=\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0;\forall m\)

Phương trình có 2 nghiệm dương pb khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=\left(2m-3\right)^2-\left(m+9\right)\left(m^2+m+1\right)>0\\x_1+x_2=\dfrac{-2\left(2m-3\right)}{m^2+m+1}>0\\x_1x_2=\dfrac{m+9}{m^2+m+1}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-m^3-6m^2-22m>0\\-2\left(2m-3\right)>0\\m+9>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\left[\left(m+3\right)^2+13\right]< 0\\2m-3< 0\\m+9>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\m< \dfrac{3}{2}\\m>-9\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow-9< m< 0\)

a.

Ta có: \(2x^2-2x+3=\dfrac{1}{2}\left(2x-1\right)^2+\dfrac{5}{2}>0\) ;\(\forall x\) nên BPT đã cho tương đương:

\(x^2+mx-1< 2x^2-2x+3\)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(m+2\right)x+4>0\)

BPT đúng với mọi x khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}a=1>0\\\Delta=\left(m+2\right)^2-16< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)\left(m+6\right)< 0\Rightarrow-6< m< 2\)

b. Ta có:

\(3x^2-5x+4=3\left(x-\dfrac{5}{6}\right)^2+\dfrac{23}{12}>0\) ;\(\forall x\)

Nên BPT tương đương:

\(\left(m-4\right)x^2+\left(m+1\right)x+2m-1>0\)

BPT đúng với mọi x khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}a=m-4>0\\\Delta=\left(m+1\right)^2-4\left(m-4\right)\left(2m-1\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>4\\-7m^2+38m-15< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m>5\)

a. BPT đã cho vô nghiệm khi:

\(f\left(x\right)\ge0\) nghiệm đúng với mọi x

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1>0\\\Delta'=\left(m+2\right)^2-\left(3m^2+5m-8\right)\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow-2m^2-m+12\le0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge\dfrac{-1+\sqrt{97}}{4}\\m\le\dfrac{-1-\sqrt{97}}{4}\end{matrix}\right.\)

b.

\(f\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm pb 

\(\Leftrightarrow\Delta'=-2m^2-m+12>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-1-\sqrt{97}}{4}< m< \dfrac{-1+\sqrt{97}}{4}\)

Lời giải:

b/

\(\frac{3x+5}{2x^2-5x+3}\geq 0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} 3x+5\geq 0\\ 2x^2-5x+3>0\end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} 3x+5\leq 0\\ 2x^2-5x+3<0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x\geq \frac{-5}{3}\\ x>\frac{3}{2}(\text{hoặc}) x< 1\end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x\leq \frac{-5}{3}\\ 1< x< \frac{3}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x>\frac{3}{2}\\ \frac{-5}{3}\leq x< 1\end{matrix}\right.\ \)

c/

$2x^3+x+3>0$

$\Leftrightarrow 2x^2(x+1)-2x(x+1)+3(x+1)>0$

$\Leftrightarrow (x+1)(2x^2-2x+3)>0$

$\Leftrightarrow (x+1)[x^2+(x-1)^2+2]>0$

$\Leftrightarrow x+1>0$

$\Leftrightarrow x>-1$

Xét f(x) = \(x\left(x^2-1\right)=x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)

f(x) = 0 khi x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = -1

Ta có bảng

x            \(-\infty\)             -1              0               1                  \(+\infty\)  

x                        -        |        -      0       +       |        +  

x-1                     -        |        -       |       -        0       +

x+1                    -        0       +      |       +        |        +

f(x)                     -        0       +     0       -        0       +

=> f(x) \(\ge0\Leftrightarrow x\in\left[-1;0\right]\cup\left[1;+\infty\right]\)