Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Lời giải:

Gọi độ dài cạnh đáy là $x$

Hạ đường cao $SH$ của hình chóp. Do đây là hình chóp tứ giác đều nên $H$ là tâm của hình vuông $ABCD$

Từ $H$ kẻ \(HE\perp AB\)

\(\Rightarrow \angle ((SAB),(ABCD))=\angle (HE,SE)=\angle SEH=30^0\)

\(\Rightarrow \frac{HE}{SE}=\cos SEH=\cos 30=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Mà \(HE\parallel AD\Rightarrow \frac{HE}{AD}=\frac{HB}{BD}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow HE=\frac{x}{2}\)

Do đó: \(SE=\frac{x}{\sqrt{3}}\)

Diện tích mặt bên: \(S_{SAB}=\frac{SE.AB}{2}=\frac{\sqrt{3}a^2}{6}\)

\(\Leftrightarrow \frac{x^2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}a^2}{6}\Leftrightarrow x^2=a^2\Leftrightarrow x=a\)

\(\frac{SH}{HE}=\tan SEH=\tan 30=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow SH=\frac{\sqrt{3}}{3}.\frac{a}{2}=\frac{\sqrt{3}}{6}a\)

Vậy: \(V=\frac{1}{3}.SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{\sqrt{3}a}{6}.a^2=\frac{\sqrt{3}a^3}{18}\)

\(\dfrac{125\sqrt{18}}{36}\)

Gọi h1, h2, h3, h4 là khoảng cách từ M đến các mặt phẳng (ABC), (BCD), (CDA), (DAB)

Thấy điểm M chia tứ diện ABCD thành 4 tứ diện có đỉnh M.

V(MABC) + V(MBCD) + V(MCDA) + V(MDAB) = V(ABCD)

=> (1/3)S.h1 + (1/3)S.h2 + (1/3)S.h3 + (1/3)S.h4 = V(ABCD)
Với S là diện tích của tgiác ABC (các mặt đều là tgiác đều bằng nhau)

=> h1 + h2 + h3 + h4 = 3.V(ABCD) /S = const

nếu ta gọi h là đường cao của tứ diện thì từ trên ta có:

h1 + h2 + h3 + h4 = 3(1/3).h.S /S = h

Với cạnh của tứ diện là a, Gọi H là chân đường vuông góc từ D trên mp(ABC)
AH = a√3/3, AD = a
=> h = DH = √(a²-a²/3) = a√6/3

=> h1 + h2 + h3 + h4 = a√6/3