Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Lời giải:

Từ $A$ kẻ $AH$ vuông góc với $BC$

Khi đó:

\(60^0=\angle ((A'BC), (ABC))=\angle (AH, A'H)=\angle AHA'\)

Do hình lăng trụ đã cho là lăng trụ đều nên tam giác $ABC$ là tam giác đều có đường cao $AH$ nên:

\(AH=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}a}{2}\)

\(\Rightarrow \sqrt{3}=\tan AHA'=\frac{AA'}{AH}\Rightarrow AA'=\frac{3}{2}a\)

\(V_{ABC.A'B'C'}=S_{ABC}.AA'=\frac{AH.BC}{2}.\frac{3}{2}a=\frac{\sqrt{3}a^2}{4}.\frac{3}{2}a=\frac{3\sqrt{3}a^3}{8}\)

❤sin45=\(\dfrac{SO}{SM}\) => SO=sin45 . SM= \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) = \(\dfrac{a\sqrt{6}}{4}\)

OM= \(\sqrt{SM^2-SO^2}\) = \(\dfrac{a\sqrt{6}}{4}\)

BC = 2OM => BC=\(\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\)

V = \(\dfrac{1}{3}.AB.BC.SO=\dfrac{1}{3}.a.\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.\dfrac{a\sqrt{6}}{4}=\dfrac{a^3}{4}\)

❤ta có: SM⊂ (SAB) (1)

mà: \(\left\{{}\begin{matrix}NC//AB\\AB\subset\left(SAB\right)\end{matrix}\right.\) => NC// (SAB) (2)

từ (1) và (2) => SM//NC

\(d_{\left(SM,NC\right)}=d_{\left(NC,\left(SAB\right)\right)}=d_{\left(N,\left(SAB\right)\right)}=2d_{\left(O,\left(SAB\right)\right)}\)

+kẻ OH⊥SM

+ Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AB\perp OM\\AB\perp SO\end{matrix}\right.\) => AB ⊥ (SOM) \(\supset OH\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}OH\perp AB\\OH\perp SM\end{matrix}\right.\) => OH⊥(SAB)

➜d_(O,(SAB)) =OH

OH=\(\dfrac{OM.SO}{\sqrt{OM^2+SO^2}}\)\(\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\)

➜d_(N,(SAB)) =d_(SM,NC)= \(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

M, N, P, Q là các điểm gì?

Hình chiếu của A'A lên mp(ABC) là đường thẳng AH.
Suy ra góc giữa đường thẳng AA' và mp(ABC) bằng góc giữa hai đường thẳng AA' và AH.
Mà \(A'H\perp mp\left(ABC\right)\) suy ra \(\left(AA',AH\right)=\widehat{A'AH}=60^o\).
\(AH=AC.sin60^o=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\).
\(A'H=AH.tan60^o=\dfrac{3a}{2}\).
Thể tích hình trụ là: \(\dfrac{1}{3}.S_{\Delta ABC}.A'H=\dfrac{1}{3}.a.a.sin60^o.\dfrac{3}{2}a=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^3\).
Đáp án : D.

b tự vẽ hình nha

\(\widehat{SBC,ABC=\widehat{AB,SB}}\)

tan30 =\(\dfrac{SA}{AB}\) ---> \(AB=\dfrac{SA}{tan30}\)=\(\dfrac{3h}{\sqrt{3}}\)=\(h\sqrt{3}\)

Sđ = \(\dfrac{3h^2\sqrt{3}}{4}\)

V=\(\dfrac{1}{3}.\dfrac{3h^2\sqrt{3}}{4}.h\) =\(\dfrac{h^3\sqrt{3}}{4}\)

Hình bạn tự vẽ

Ta có SBA=SCA(ch-cgv)

Suy ra : AB=AC

Tổng ba góc của một tam giác là \(180^0\)= A + B + C

Vì tam giác ABC cân tại A => B = C =\(\dfrac{180^0-120^0}{2}\)= \(30^0\)

Theo hệ thức lượng trong tam giác \(\dfrac{BC}{SinA}=\dfrac{AC}{SinB}\)

Suy ra \(AC=\dfrac{SinB\cdot BC}{SinA}=\dfrac{a}{\sqrt{3}}\)

S đáy =\(\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot AC\cdot SinC=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot\dfrac{a}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{a^2}{4\sqrt{3}}\)

Theo định lí pi-ta-go ta có :\(AS^2=SB^2-AB^2\)

Suy ra AS=\(a\sqrt{\dfrac{2}{3}}\)

vậy V = \(\dfrac{1}{3}\)SA x S đáy = \(\dfrac{a^4\sqrt{2}}{36}\)