Bài 3: Hàm số liên tục

Đặt f(x) = m(1 - x)³.(x² - 4) + x⁴ - 3

⇒ f(x) liên tục trên R

Ta có:

f(-2) = m.(1 - 2)³.[(-2)² - 4] + (-2)⁴ - 3

= 0 + 16 - 3

= 15

f(1) = m.(1 - 1)³.(1² - 4) + 1⁴ - 3

= 0 + 1 - 3

= -2

f(2) = m.(1 - 2)³.(2² - 4) + 2⁴ - 3

= 0 + 16 - 3

= 15

Do f(-2).f(1) = 15.(-2) = -30 < 0

Và f(1).f(2) = -2.15 < 0

⇒ Phương trình đã cho có ít nhất 2 nghiệm x₁ và x₂ với mọi m, trong đó x₁ ∈ (-2; 1); x₂ ∈ (1; 2)

\(f\left(x\right)=2x+6\sqrt[3]{1-x}-3\) liên tục trên R.

\(f\left(1\right)=-1;f\left(0\right)=3;f\left(-7\right)=-5;f\left(9\right)=3\)

\(f\left(-7\right)f\left(0\right)< 0\) --> f(x) = 0 có 1 nghiệm thuộc khoảng (-7; 0)

\(f\left(0\right)f\left(1\right)< 0\) --> f(x) = 0 có 1 nghiệm thuộc khoảng (0; 1)

\(f\left(1\right)f\left(9\right)< 0\) --> f(x) = 0 có 1 nghiệm thuộc khoảng (1; 9)

Vậy f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

Đề lỗi công thức toán rồi bạn. Không nhìn thấy được biểu thức hiển thị.

\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\dfrac{\sqrt{2x+7}-3}{x-1}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\dfrac{2x+7-9}{\sqrt{2x+7}+3}\cdot\dfrac{1}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\dfrac{2}{\sqrt{2x+7}+3}\)

\(=\dfrac{2}{\sqrt{2+7}+3}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}mx+5=m+5\)

f(1)=m*1+5=m+5

Để hàm số liên tục tại x=1 thì m+5=1/3

=>m=-14/3

\(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\sqrt{x+7}-3}{x-2}\left(x< >2\right)\\mx+2023\left(x=2\right)\end{matrix}\right.\)

Để hàm số liên tục tại x=2 thì \(\lim\limits_{x\rightarrow2}f\left(x\right)=F\left(2\right)\)

=>\(\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{x+7-9}{\left(x-2\right)\left(\sqrt{x+7}+3\right)}=2m+2023\)

=>\(2m+2023=\dfrac{1}{\sqrt{2+7}+3}=\dfrac{1}{6}\)

=>m=-12137/12

\(f\left(x\right)=\dfrac{\sqrt{\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)^2\left(x+2\right)}}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}=\dfrac{\left|x-1\right|\sqrt{\left(x+1\right)^2\left(x+2\right)}}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)

Nên;
\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=\dfrac{\left(x-1\right)\sqrt{\left(x+1\right)^2\left(x+2\right)}}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\dfrac{\sqrt{\left(x+1\right)^2\left(x+2\right)}}{x^2+x+1}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\dfrac{-\left(x-1\right)\sqrt{\left(x+1\right)^2\left(x+2\right)}}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\dfrac{-\sqrt{\left(x+1\right)^2\left(x+2\right)}}{x^2+x+1}=-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\)

 \(\Rightarrow\)\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)\ne\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)\) nên giới hạn \(\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)\) ko tồn tại

2: f(x)=(9-x^2)/(x-3)=-(x+3)

Khi x<3 thì \(lim_{x->3^-}f\left(x\right)=-\left(3+3\right)=-6\)

\(lim_{x->3^+}f\left(x\right)=1-3=-2< >-6\)

=>f(x) bị gián đoạn tại x=3

1: 

\(\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1}=\dfrac{1+x-1}{\sqrt{1+x}+1}:\dfrac{1+x-1}{\sqrt[3]{\left(1+x\right)^2}+\sqrt[3]{1+x}+1}\)

\(=\dfrac{\sqrt[3]{\left(x+1\right)^2}+\sqrt[3]{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1}\)

\(lim_{x->0^+}f\left(x\right)=\dfrac{\sqrt[3]{\left(0+1\right)^2}+\sqrt[3]{0+1}+1}{\sqrt{0+1}+1}=\dfrac{1+1+1}{1+1}=\dfrac{3}{2}=lim_{x->0^-}f\left(x\right)\)

=>Hàm số liên tục tại x=0

\(\lim\limits_{x->2^-}=\dfrac{2^2-6\cdot2+8}{\sqrt{3\cdot2+2}-2}=0\)

\(\lim\limits_{x->2^+}=\dfrac{2+8}{2-1}=10< >0\)

=>f(x) không liên tục tại x=2