Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Đặt \(\sqrt{x^2-4x+5}=t\left(t\ge1\right)\)

\(\sqrt{x^2-4x+5}=m+4x-x^2\)

\(\Leftrightarrow m=x^2-4x+5+\sqrt{x^2-4x+5}-5\)

\(\Leftrightarrow m=f\left(t\right)=t^2+t-5\)

Phương trình có nghiệm khi \(m\ge minf\left(t\right)=-3\)

Vì $\sqrt{1+x}\ge 0,\sqrt{8-x}\ge 0,\sqrt{(1+x)(8-x)}\ge 0$

$\to \sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}+\sqrt{(1+x)(8-x)}\ge 0$

mà $\sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}+\sqrt{(1+x)(8-x)}=m$

=> m≥0

Đặt : 

\(t=\sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}\) \(\left(t\ge0\right)\)

DKXĐ : \(-1\le x\le8\)

\(\Leftrightarrow t^2=9+2\sqrt{\left(1+x\right)\left(8-x\right)}\) (1) 

BBT của \(t^2\) :

\(\Leftrightarrow t\in\left(1,2\sqrt{2}\right)\)

Thay \(\left(1\right)\) vào pt ta có :\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(1+x\right)\left(8-x\right)}=\dfrac{t^2-9}{2}\) (1)

\(\Leftrightarrow f\left(t\right)=t^2+2t-9=2m\)

BBT của \(f\left(t\right)\) :

\(\Leftrightarrow2m\in\left[-6;4\sqrt{2}-1\right]\)   thì pt có nghiệm 

\(\Leftrightarrow m\in\left(-3;\dfrac{-1+4\sqrt{2}}{2}\right)\)

Vẽ dùm mình mấy cái mũi tên trên BBT nhé UwU

Để pt có nghiệm thì

\(1+x\ne0\) và \(8-x\ne0\)

\(\Rightarrow x\ne-1\) và \(x\ne8\)

\(\sqrt{1+x} +\sqrt{8-x}+\sqrt{\left(1+x\right)\left(8-x\right)}=m\)

( mk viết thiếu đề)

Để pt có nghiệm thì

 và 

 và 

Xét hàm:

\(f\left(x\right)=\sqrt[4]{x^2+1}-\sqrt[]{x}\) với \(x\ge0\)

\(f'\left(x\right)=\dfrac{x}{2\sqrt[4]{\left(x^2+1\right)^3}}-\dfrac{1}{2\sqrt[]{x}}=\dfrac{x\sqrt[]{x}-\sqrt[4]{\left(x^2+1\right)^3}}{2\sqrt[4]{x^2\left(x^2+1\right)^3}}\)

Ta có: \(\sqrt[4]{\left(x^2+1\right)^3}>\sqrt[4]{\left(x^2+0\right)^3}=x\sqrt[]{x}\Rightarrow x\sqrt[]{x}-\sqrt[4]{\left(x^2+1\right)^3}< 0\) ; \(\forall x>0\)

\(\Rightarrow\) Hàm nghịch biến trên R \(\Rightarrow f\left(x\right)\le f\left(0\right)=1\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt[4]{x^2+1}-x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{\left(\sqrt[4]{x^2+1}+x\right)\left(\sqrt[]{x^2+1}+x^2\right)}=0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)>0\) ; \(\forall x>0\)

\(\Rightarrow0< f\left(x\right)\le1\Rightarrow\) phương trình có nghiệm khi \(0< m\le1\)

19.

\(y'=3x^2+2mx+1-m\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng đã cho khi \(\forall x\in\left(-1;0\right)\) ta có:

\(y'\le0\)

\(\Leftrightarrow3x^2+2mx+1-m\le0\)

\(\Leftrightarrow3x^2+1\le m\left(1-2x\right)\)

\(\Leftrightarrow m\ge\dfrac{3x^2+1}{1-2x}\) (do \(1-2x>0;\forall x< 0\))

\(\Leftrightarrow m\ge\max\limits_{\left(-1;0\right)}\dfrac{3x^2+1}{1-2x}\)

Đặt \(f\left(x\right)=\dfrac{3x^2+1}{1-2x}\), xét hàm \(f\left(x\right)\) trên \(\left(-1;0\right)\)

\(f'\left(x\right)=\dfrac{-6x^2+6x+2}{\left(1-2x\right)^2}=0\Rightarrow-3x^2+3x+1=0\Rightarrow x=\dfrac{3-\sqrt{21}}{6}\)

\(f\left(-1\right)=\dfrac{4}{3}\) ; \(f\left(0\right)=1\) ; \(f\left(\dfrac{3-\sqrt{21}}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{21}-3}{2}\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)< \dfrac{4}{3}\Rightarrow m\ge\dfrac{4}{3}\)

\(\Rightarrow m=\left\{2;3;4;...;2021\right\}\) có \(2021-2+1=2020\) giá trị nguyên

20.

\(y'=3x^2+4mx+1\)

Hàm đồng biến trên khoảng đã cho khi \(\forall x\in\left(0;1\right)\) ta có:

\(y'\ge0\)

\(\Leftrightarrow3x^2+4mx+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow4mx\ge-3x^2-1\)

\(\Leftrightarrow m\ge\dfrac{-3x^2-1}{4x}\)

\(\Rightarrow m\ge\max\limits_{\left(0;1\right)}\dfrac{-3x^2-1}{4x}\)

Ta có: \(\dfrac{3x^2+1}{4x}\ge\dfrac{2\sqrt{3x^2}}{4x}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow-\dfrac{3x^2+1}{4x}\le-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow m\ge-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Do \(x^2+y^2=1\), đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=sina\\y=cosa\end{matrix}\right.\)

\(P=\left(3-sina\right)\left(3-cosa\right)=9-3\left(sina+cosa\right)+sina.cosa\)

Đặt \(sina+cosa=t\Rightarrow t\in\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\)

\(t^2=1+2sina.cosa\Rightarrow sina.cosa=\dfrac{t^2-1}{2}\)

\(P=9-3t+\dfrac{t^2-1}{2}=\dfrac{1}{2}t^2-3t+\dfrac{17}{2}\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=\dfrac{1}{2}t^2-3t+\dfrac{17}{2}\) trên \(\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\)

\(f'\left(t\right)=t-3=0\Rightarrow t=3\notin\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\)

\(f\left(-\sqrt{2}\right)=\dfrac{19+6\sqrt{2}}{2}\) ; \(f\left(\sqrt{2}\right)=\dfrac{19-6\sqrt{2}}{2}\) 

\(\Rightarrow P_{min}=f\left(\sqrt{2}\right)=\dfrac{19-6\sqrt{2}}{2}\) khi \(t=\sqrt{2}\)