Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

\(f'\left(x\right)=2-\dfrac{\pi}{2}sin\left(\dfrac{\pi x}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\left(4-\pi sin\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\right)\)

Do \(\left|\pi sin\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\right|\le\pi< 4\Rightarrow f'\left(x\right)>0\) ; \(\forall x\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên R

\(\Rightarrow f\left(x\right)_{min}+f\left(x\right)_{max}=f\left(-2\right)+f\left(2\right)=-4+cos\left(-\pi\right)+4+cos\left(\pi\right)=-2\)

\(y'=\dfrac{2-\left(-m^2-m\right)}{\left(x+2\right)^2}=\dfrac{m^2+m+2}{\left(x+2\right)^2}\)

Sử dụng công thức: \(\left(\dfrac{ax+b}{cx+d}\right)'=\dfrac{ad-bc}{\left(cx+d\right)^2}\)

\(cos\left(2-ab\right)-cos\left(a+b\right)=a+b+ab-2\)

\(\Leftrightarrow cos\left(2-ab\right)+2-ab=cos\left(a+b\right)+a+b\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=cosx+x\)

\(f'\left(x\right)=-sinx+1\ge0;\forall x\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên R

\(\Rightarrow2-ab=a+b\)

\(\Rightarrow2-a=b\left(a+1\right)\Rightarrow b=\dfrac{2-a}{a+1}=\dfrac{3}{a+1}-1\)

\(\Rightarrow P=a+\dfrac{6}{a+1}-2=a+1+\dfrac{6}{a+1}-3\ge2\sqrt{\dfrac{6\left(a+1\right)}{a+1}}-3=2\sqrt{6}-3\)

Nửa chu vi hình chữ nhật là: 16 : 2 = 8cm.

Gọi độ dài 1 cạnh của hình chữ nhật là x (cm)

⇒ độ dài cạnh còn lại là : 8 – x (cm)

⇒ Diện tích của hình chữ nhật là:

Vậy trong các hình chữ nhật có chu vi 16cm thì hình vuông cạnh bằng 4cm có diện tích lớn nhất bằng 16cm².

\(\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{3+2}{3-2}+m\ge0\\\dfrac{4+2}{4-2}+m\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}5+m\ge0\\3+m\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}5\ge-m\\3\ge-m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}5.\left(-1\right)\le-m.\left(-1\right)\\3.\left(-1\right)\le-m.\left(-1\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge-5\\m\ge-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m\ge\dfrac{x+2}{-x+2}\)

\(\Leftrightarrow m\ge\max\limits_{\left[3;4\right]}\dfrac{x+2}{-x+2}\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=\dfrac{x+2}{-x+2}\) trên \(\left[3;4\right]\)

\(f'\left(x\right)=\dfrac{4}{\left(x+2\right)^2}< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên mỗi khoảng xác định

\(\Rightarrow\max\limits_{\left[3;4\right]}f\left(x\right)=f\left(4\right)=3\)

\(\Rightarrow m\ge3\)

Đề mờ quá, bạn chụp lại được không

11.

\(y'=3x^2+6x=3x\left(x+2\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-2\end{matrix}\right.\)

\(y''=6x+6\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y''\left(0\right)=6>0\\y''\left(-2\right)=-6< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=0\) là điểm cực tiểu

\(\Rightarrow y_{CT}=y\left(0\right)=-3\)

13.

\(y'=-4x^3+4x=-4x\left(x^2-1\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)

\(y''=-12x^2+4\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y''\left(0\right)=0>0\\y''\left(1\right)=y''\left(-1\right)=-8< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=0\) là điểm cực tiểu

20.

\(y'=\dfrac{a^2+b^2+1}{\left(x+a\right)^2}>0\Rightarrow\) hàm đồng biến trên các khoảng xác định

\(\Rightarrow y_{min}\) khi \(x_{min}\Rightarrow x=a\)

21.

\(f'\left(x\right)=3x^2+m^2\ge0\Rightarrow\) hàm đồng biến trên R

\(\Rightarrow f\left(x\right)_{min}=f\left(1\right)=m^2+19\)

\(\Rightarrow m^2+19\le20\)

\(\Rightarrow m^2\le1\Rightarrow m=\left\{-1;0;1\right\}\)

Có 3 giá trị nguyên

22.

\(f'\left(x\right)=\dfrac{m^2-m+1}{\left(x+1\right)^2}=\dfrac{\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}{\left(x+1\right)^2}>0\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên các khoảng xác định

\(\min\limits_{\left[0;1\right]}f\left(x\right)=f\left(0\right)=-m^2+m\)

\(\Rightarrow-m^2+m=-2\)

\(\Leftrightarrow m^2-m-2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\left(loại\right)\\m=2\end{matrix}\right.\)

23.

Hàm bậc nhất trên bậc nhất luôn đơn điệu trên mọi khoảng xác định

\(\Rightarrow\) Min và max trên 1 đoạn luôn rơi vào 2 đầu mút

\(\Rightarrow\min\limits_{\left[1;2\right]}y+\max\limits_{\left[1;2\right]}y=y\left(1\right)+y\left(2\right)=\dfrac{m+1}{2}+\dfrac{m+2}{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{m+1}{2}+\dfrac{m+2}{3}=\dfrac{16}{3}\)

\(\Rightarrow m=\dfrac{27}{5}>4\)

24.

\(y'=\dfrac{-m^2-1}{\left(x-m\right)^2}< 0\Rightarrow\) hàm nghịch biến trên các khoảng xác định

\(\Rightarrow\max\limits_{\left[1;2\right]}y=y\left(1\right)=\dfrac{m+1}{1-m}\)

\(\Rightarrow\dfrac{m+1}{1-m}=-2\Rightarrow m=3\)

25.

Câu này đề rõ ngớ ngẩn, đề cho m là tham số thực âm, mà 4 đáp án có đúng đáp án D âm nên không cần tính toán gì cũng có thể chọn ngay D

Còn nếu tính toán thì làm như sau:

\(y'=3x^2-2m\)

Do \(m< 0\Rightarrow-2m>0\Rightarrow3x^2-2m>0\Rightarrow\) hàm đồng biến trên R

\(\Rightarrow\min\limits_{\left[1;2\right]}y=y\left(1\right)=-3m\)

\(\Rightarrow-3m=3\Rightarrow m=-1\)

Lời giải:
TXĐ: $[-1;1]$

$y'=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}+\frac{x}{2}$

$y'=0\Leftrightarrow x=0$

$f(0)=2$;

$f(1)=f(-1)=\sqrt{2}+\frac{1}{4}$
Vậy $f_{\min}=2; f_{\max}=\frac{1}{4}+\sqrt{2}$

Yêu cầu bài toán?

Hàm số xác định khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}1+x\ge0\\1-x\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-1\le x\le1\)