Bài 3: Cấp số cộng

\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_2+u_3=21\\u_1^2+u_2^2+u_3^2=155\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_1+d+u_1+2d=21\\u_1^2+\left(u_1+d\right)^2+\left(u_1+2d\right)^2=155\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=7-u_1\left(.\right)\\u_1^2+\left(u_1+7-u_1\right)^2+\left(u_1+2\left(7-u_1\right)\right)^2=155\left(..\right)\end{matrix}\right. \Rightarrow}Từ\left(..\right)\Rightarrow u_1^2+49+196-28u_1+u_1^2=155\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=9\Rightarrow d=-2\Rightarrow9;7;5\\u_1=5\Rightarrow d=2\Rightarrow5;7;9\end{matrix}\right.\)

=>U1+2q-U1-q=5 và 2*U1*(U1+q)=28

=>q=5 và 2U1(U1+5)=28

=>U1^2+5U1-14=0 và q=5

=>q=5 và \(U_1\in\left\{2;-7\right\}\)

30:

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u1+q+u1+3q+u1+5q=39\\u_1^3+\left(u_1+q\right)^3=82\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+3q=13\\u_1^3+\left(u_1+q\right)^3=82\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}q=\dfrac{13}{3}-\dfrac{1}{3}u_1\\u_1^3+\left(\dfrac{2}{3}u_1+\dfrac{13}{3}\right)^3=82\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}q=4\\u_1=13-3q=1\end{matrix}\right.\)

a: u1=16

u2=48=u1+32

u3=80=u2+32

u4=112=80+32=u3+32
...

=>công sai là d=32

b: u1=16; d=32

Tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên là:

\(\dfrac{10\cdot\left[2\cdot16+9\cdot32\right]}{2}=1600\)

=>2u1+u1+2d-u1-4d=2 và u1+2d+u1+5d=11

=>2u1-2d=2 và 2u1+7d=11

=>u1=2 và d=1

27.

Gọi 3 cạnh của tam giác lần lượt là a;b;c với c là cạnh huyền

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=3\\a+c=2b\\a^2+b^2=c^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=3\\3-b=2b\\a^2+b^2=c^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2-c\\b=1\\\left(2-c\right)^2+1=c^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{4}\\b=1\\c=\dfrac{5}{4}\end{matrix}\right.\)

28.

Cấp số cộng thứ nhất có \(u_1=4;d=3\Rightarrow u_n=4+3\left(n-1\right)=3n+1\)

Cấp số cộng thứ hai có \(u_1=1;d=5\Rightarrow u_m=1+5\left(m-1\right)=5m-4\)

Trong đó \(1\le m;n\le100\) (do mỗi CSC có 100 số hạng)

Số có mặt trong cả 2 CSC thỏa mãn:

\(3n+1=5m-4\)

\(\Leftrightarrow3n=5\left(m-1\right)\)

\(\Rightarrow n⋮5\Rightarrow n=5k\)

\(\Rightarrow1\le5k\le100\Rightarrow1\le k\le20\)

\(\Rightarrow\) Có 20 giá trị k hay có 20 số thỏa mãn

30.

Vế trái là tổng cấp số cộng với số hạng đầu \(u_1=1\) và công sai \(d=7\)

Số số hạng: \(n=\dfrac{u_n-u_1}{d}+1=\dfrac{x-1}{7}+1=\dfrac{x+6}{7}\)

Do đó: \(S_n=\dfrac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}=\dfrac{\left(\dfrac{x+6}{7}\right)\left(1+x\right)}{2}=\dfrac{x^2+7x+6}{14}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^2+7x+6}{14}=7944\)

Bấm máy pt bậc 2 \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=330\\x=-337\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}u_3=13\\u_5=23\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+2d=13\\u_1+4d=23\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=3\\d=5\end{matrix}\right.\)