Bài 2: Tích phân

\(\int tan^3xdx=\int tan^2x.tanxdx=\int\left(\dfrac{1}{cos^2x}-1\right)tanxdx\)

\(=\int tanx.d\left(tanx\right)-\int tanxdx=\dfrac{1}{2}tan^2x-ln\left|cosx\right|+C\)

a/ đang chơi cầu lông
b/ tung bọt trắng xóa ?=)? chắc là bình chữa cháy
c/ đang cầy ruộng

d/ vẫn bị duy chuyển
e/ bông hoa

Đề bài là: \(\int\limits^{+\infty}_0\dfrac{ln^3x}{x}dx\) hay \(\int\limits^{+\infty}_0\dfrac{x.\left(ln^3x\right)}{x}dx\) nhỉ?

Nhìn cái đề vô lý quá, sao ko rút gọn x luôn cho rồi? Nó là cái tích phân thứ nhất thì hợp lý hơn?

\(I=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\left(cos2x+sin^2x\right)cosx.dx\)

\(=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\left(cos^2x-sin^2x+sin^2x\right)cosx.dx\)

\(=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}cos^2x.cosx.dx\)

Đặt t=sinx, ta có: \(dt=cosx.dx\)

\(\Rightarrow I=\int_0^1\left(1-t^2\right)dt\)

\(=t-\dfrac{t^3}{3}|_0^1\)

\(=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\)

Khi \(x\rightarrow+\infty\) thì \(\dfrac{1}{x^5+2x}\sim\dfrac{1}{x^5}\)

Mà \(\int\limits^{+\infty}_1\dfrac{1}{x^5}dx\) hội tụ \(\Rightarrow\int\limits^{+\infty}_1\dfrac{1}{x^5+2x}dx\) hội tụ

Nguyên hàm:  \(I=\int\limits\dfrac{x^2-2x+1}{x^2+1}dx=\int\left(1-\dfrac{2x}{x^2+1}\right)dx=x-ln\left|x^2+1\right|+C\)

Với \(\dfrac{2x}{x^2+1}dx=\dfrac{d\left(x^2+1\right)}{x^2+1}=ln\left|x^2+1\right|\)

Lời giải:

\(A=\int \frac{1}{x^2+4x+5}dx=\int \frac{1}{(x+2)^2+1}dx\)

Đặt \(x+2=\tan t\) thì:

\(A=\int \frac{1}{\tan ^2t+1}d(\tan t-2)=\int \cos ^2t.\frac{1}{\cos ^2t}dt=\int dt=t+C\)

\(=\arctan (x+2)+C\)