Bài 2: Tích phân

nguyễn minh
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
15 tháng 11 2022 lúc 17:07

\(I=\int\limits^3_2\dfrac{ln\left(x^3-3\right)}{x^4}dx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=ln\left(x^3-3\right)\\dv=\dfrac{1}{x^4}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{3x^2}{x^3-3}\\v=-\dfrac{1}{3x^3}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{x^3-3}{9x^3}\end{matrix}\right.\)

(khi lựa chọn v chúng ta sử dụng 1 mẹo nho nhỏ là \(\left[f'\left(x\right)+k\right]'=f'\left(x\right)\) với k là hằng số bất kì, nghĩa là thêm bớt hằng số vào v ko làm thay đổi bài toán, từ đó trong 1 số bài khi tính tích phân từng phần ta có thể linh hoạt thêm 1 hằng số vào v sao cho kết quả \(v.du\) gọn nhất có thể)

\(\Rightarrow I=\dfrac{\left(x^3-3\right)}{9x^3}.ln\left(x^3-3\right)-\int\dfrac{1}{3x}dx=\dfrac{\left(x^3-3\right)ln\left(x^3-3\right)}{9x^3}-\dfrac{1}{3}lnx\)

Tới đây thế cận tính toán là xong

Bình luận (0)
Thầy Đức Anh
15 tháng 11 2022 lúc 10:01

Gợi ý:

Đổi biến nhìn cho gọn nhé:

Đặt $u=x+1$, vậy $u \in [2;3]$ ($du=dx$).

Ta cần tìm: \(\int\dfrac{ln\left(u^3-3\right)}{u^4}du\)

\(=\int ln\left(u^3-3\right).u^{-4}du\)

\(=\int ln\left(u^3-3\right)u^{-4}du\)

\(=ln\left(u^3-3\right).\left(\dfrac{-1}{3}\right)\left(u\right)^{-3}-\int\left(\dfrac{-1}{3}\left(u\right)^{-3}\right).\dfrac{1}{u^3-3}.3u^2du\)

Đặt \(A=ln\left(u^3-3\right).\left(\dfrac{-1}{3}u^{\left(-3\right)}\right)|_2^3=...\) (Chỗ này em tự tính nốt nhé!).

\(B=-\dfrac{1}{3}.\int_2^3\dfrac{1}{u^3}.\dfrac{1}{u^3-3}3u^2du\)

Đến đây, để tính $B$, em đặt ẩn phụ $v=u^3$ ,$v \in [8;27]$, $dv=3u^2du$.

Bình luận (0)
Lí Vật
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
10 tháng 10 2022 lúc 22:40

Đặt \(2x-1=t\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}t+\dfrac{1}{2}\Rightarrow dx=\dfrac{1}{2}dt\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x=1\Rightarrow t=1\\x=2\Rightarrow t=3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\int\limits^3_1f\left(t\right).\left(\dfrac{1}{2}dt\right)=\dfrac{1}{2}\int\limits^3_1f\left(t\right)dt=\dfrac{1}{2}.5=\dfrac{5}{2}\)

Bình luận (0)
Khai Hoan Nguyen
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
17 tháng 8 2022 lúc 13:01

Đặt \(x+1=t\Rightarrow x=t-1\) ; \(dx=dt\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=1\\x=1\Rightarrow t=2\end{matrix}\right.\)

\(I=\int\limits^2_1\dfrac{t-1}{t^3}dt=\int\limits^2_1\left(\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{1}{t^3}\right)dt=\left(-\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{2t^2}\right)|^2_1=...\)

Bình luận (0)
ĐỖ THANH HỢP
17 tháng 8 2022 lúc 16:10

Bình luận (0)
Mun Amie
1 tháng 7 2022 lúc 12:09

Đặt \(u=2^x\Rightarrow x=log_2u\left(=\dfrac{lnu}{ln2}\right)\Rightarrow dx=\dfrac{1}{u.ln2}.du\)

\(\Rightarrow I=\)\(\int\limits^2_1\dfrac{lnu}{ln2}.\dfrac{1}{u.ln2}.u.du=\)\(\dfrac{1}{ln^2}\int\limits^2_1lnu.du\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}m=lnu\\dn=du\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}dm=\dfrac{1}{u}.du\\n=u\end{matrix}\right.\)

=> \(I=\dfrac{1}{ln^22}\left[u.lnu|^2_1-\int\limits^2_1u.\dfrac{1}{u}du\right]=\dfrac{1}{ln^22}\left[2.ln2-1\right]=\dfrac{2.ln2-1}{ln^22}\)

\(S=2-1+1=2\) 

Ý A

Bình luận (0)
Nguyễn Vũ Mai Phương
Xem chi tiết
Anh Doanthilan
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
10 tháng 3 2022 lúc 23:36

Trên \(\left[-\dfrac{3\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right]\) ta có: \(cosx\ge0\) khi \(-\dfrac{\pi}{2}\le x\le\dfrac{\pi}{2}\)

\(cosx\le0\) khi \(-\dfrac{3\pi}{2}\le x\le-\dfrac{\pi}{2}\) và \(\dfrac{\pi}{2}\le x\le\dfrac{3\pi}{2}\)

Do đó:

\(\int\limits^{\dfrac{3\pi}{2}}_{-\dfrac{3\pi}{2}}\left|cosx\right|dx=\int\limits^{-\dfrac{\pi}{2}}_{-\dfrac{3\pi}{2}}\left(-cosx\right)dx+\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_{-\dfrac{\pi}{2}}cosxdx+\int\limits^{\dfrac{3\pi}{2}}_{\dfrac{\pi}{2}}\left(-cosx\right)dx\)

\(=-sinx|^{-\dfrac{\pi}{2}}_{-\dfrac{3\pi}{2}}+sinx|^{\dfrac{\pi}{2}}_{-\dfrac{\pi}{2}}-sinx|^{\dfrac{3\pi}{2}}_{\dfrac{\pi}{2}}=2+2+2=6\)

Bình luận (0)
Lê Minh Huy
Xem chi tiết
Đỗ Tuệ Lâm
9 tháng 3 2022 lúc 17:02

ah/chị tham khảo ạ:

undefined

Bình luận (0)
CHANNANGAMI
Xem chi tiết
CHANNANGAMI
9 tháng 3 2022 lúc 0:27

Giúp mình với các bạn ơi

Bình luận (1)
Đỗ Tuệ Lâm
9 tháng 3 2022 lúc 0:55

ANH CHỊ THAM KHẢO:

undefined

undefined

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
9 tháng 3 2022 lúc 17:36

\(\int\limits^4_0\left|x-2\right|dx=\int\limits^2_0\left|x-2\right|dx+\int\limits^4_2\left|x-2\right|dx\)

\(=\int\limits^2_0\left(2-x\right)dx+\int\limits^4_2\left(x-2\right)dx\)

\(=\left(2x-\dfrac{1}{2}x^2\right)|^2_0+\left(\dfrac{1}{2}x^2-2x\right)|^4_2=...\)

Bình luận (0)
Nguyễn Ngân Hòa
13 tháng 2 2022 lúc 8:49

Diện tích của hình D bằng: \(\int_0^4\sqrt{16-x^2}dx-\int_0^4\left(-\dfrac{1}{2}x^2+2x\right)dx\)\(=4\pi-\dfrac{16}{3}\)

Đáp án D

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
15 tháng 2 2022 lúc 21:36

Diện tích phần tô đậm bằng (diện tích giới hạn bởi cung tròn \(y=\sqrt{16-x^2}\) ; trục Ox, trục Oy) - (diện tích giới hạn bởi parabol \(y=-\dfrac{1}{2}x^2+2x\) và trục Ox)

\(\Rightarrow S=\int\limits^4_0\sqrt{16-x^2}dx-\int\limits^4_0\left(-\dfrac{1}{2}x^2+2x\right)dx\)

Xét \(\int\limits^4_0\sqrt{16-x^2}dx\) (thực chất nó là 1/4 hình tròn có bán kính bằng 4 nên tính nhanh được \(S=\dfrac{1}{4}.\pi.4^2=4\pi\) mà ko cần tích phân)

Đặt \(x=4sint\Rightarrow dx=4cost.dt\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=0\\x=4\Rightarrow t=\dfrac{\pi}{2}\end{matrix}\right.\)

\(I=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sqrt{16-16sin^2t}.4cost.dt=16\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0cos^2tdt=8\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\left(1+cos2t\right)dt\)

\(=8\left(x+\dfrac{1}{2}sin2t\right)|^{\dfrac{\pi}{2}}_0=4\pi\)

Còn \(\int\limits^4_0\left(-\dfrac{1}{2}x^2+2x\right)dx=\dfrac{16}{3}\) là tích phân cơ bản (bấm máy là được rồi)

Bình luận (0)
Hồ Nhật Phi
6 tháng 2 2022 lúc 22:16

Đặt t=x/2, suy ra 2dt=dx.

Đổi cận: x từ 0 đến 4, suy ra t từ 0 đến 2.

"Tích phân từ 0 đến 4 của f(x/2)dx bằng 2 lần tích phân từ 0 đến 2 của f(t)dt và bằng 2.2020=4040.".

Bình luận (0)