§2. Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

Với mọi x thuộc tập xác định, theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có

\(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=1\sqrt{x-2}+1\sqrt{4-x\le\sqrt{\left(1^2+1^2\right)\left(x-2+4-x\right)}=2}\)

còn

\(x^2-6x+11=\left(x-3\right)^2+2\ge2\)

do đó 

\(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=x^2-6x+11\)  \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=2\\\left(x-3\right)^2+2=2\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\) \(x=3\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x=3\)

Gọi số công nhân ban đầu của tổ đó là x(x>2 x\(\in\)N)

Năng suất mỗi người phải làm theo dự định là: \(\frac{540}{x}\)(sản phẩm)

Do có 2 công nhân phải đi làm việc khác nên số người còn lại là: x-2 (người)

Năng suất thực tế mỗi công nhân phải làm là: \(\frac{540}{x-2}\)(sản phẩm)

Vì thực tế mỗi người phải làm thêm 3 sản phẩm nên ta có phương trình:

\(\frac{540}{x-2}\)-\(\frac{540}{x}\)=3

<=> 540x-540(x-2)=3.x(x-2)

<=> 540x -540x+1080=3\(x^2\)-6x

<=> 3\(x^2\)-6x-1080=0

<=> \(\left[\begin{array}{nghiempt}x=20\\x=-18\left(loại\right)\end{array}\right.\)

vậy ban đầu có 20 công nhân

Câu 1)

\(\sqrt{2x^2+x+9}+\sqrt{2x^2-x+1}=x+4\)

ĐKXĐ:.......

Đặt \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x^2+x+9}=a\\ \sqrt{2x^2-x+1}=b\end{matrix}\right.(a,b\geq 0)\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2x^2+x+9=a^2\\ 2x^2-x+1=b^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2-b^2=2x+8\)

Như vậy, pt tương đương:

\(a+b=\frac{a^2-b^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow (a+b)\left(1-\frac{a-b}{2}\right)=0(1)\)

Thấy rằng : \(a=\sqrt{2(x+\frac{1}{4})^2+\frac{71}{8}}>0\);

\(b=\sqrt{2x^2-x+1}=\sqrt{2(x-\frac{1}{4})^2+\frac{7}{8}}>0\)

Do đó: \(a+b>0(2)\)

Từ \((1); (2)\Rightarrow 1-\frac{a-b}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow a-b=2\)

\(\Rightarrow \sqrt{2x^2+x+9}=\sqrt{2x^2-x+1}+2\)

\(\Rightarrow 2x^2+x+9=2x^2-x+1+4+4\sqrt{2x^2-x+1}\) (bình phương)

\(\Rightarrow x+2=2\sqrt{2x^2-x+1}\)

\(\Rightarrow x^2+4x+4=4(2x^2-x+1)\)

\(\Rightarrow 7x^2-8x=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=\frac{8}{7}\)

Thử lại thấy thỏa mãn.

Câu 2:
ĐKXĐ:.....

Thực hiện liên hợp.

\(\sqrt{3x^2-5x+1}-\sqrt{3x^2-3x-3}=\sqrt{x^2-2}-\sqrt{x^2-3x+4}\)

\(\Leftrightarrow \frac{3x^2-5x+1-(3x^2-3x-3)}{\sqrt{3x^2-5x+1}+\sqrt{3x^2-3x-3}}=\frac{x^2-2-(x^2-3x+4)}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}}\)

\(\Leftrightarrow \frac{-2x+4}{\sqrt{3x^2-5x+1}+\sqrt{3x^2-3x-3}}=\frac{3x-6}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}}\)

\(\Leftrightarrow (x-2)\left(\frac{3}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}}+\frac{2}{\sqrt{3x^2-5x+1}+\sqrt{3x^2-3x-3}}\right)=0\)

Hiển nhiên biểu thức trong ngoặc lớn luôn lớn hơn $0$

Do đó: \(x-2=0\Leftrightarrow x=2\)

Thử lại thấy thỏa mãn.

Vậy \(x=2\)

Từng sau chịu khó viết công thức toán cho dễ nhìn em nhé.

\(x^2-x+2=x^2-2.\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{7}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}\)

vì \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\)nên \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}>0\)

chuc sbnaj học tốt ^^

em viết lộn nhé lớp 8 nhé

Lời giải:

Để cho gọn, đặt \(x^2=t(t\geq 0)\)

PT trở thành:

\((m-2)t^2-2(m+1)t+(2m-1)=0(*)\)

a) Để PT đã cho vô nghiệm thì thì \(\Delta'\) âm hoặc \((*)\) có nghiệm âm.

----------------------------

\(\Delta'=(m+1)^2-(m-2)(2m-1)<0\)

\(\Leftrightarrow -m^2+7m-1<0\)

\(\Leftrightarrow m< \frac{7-3\sqrt{5}}{2}\) hoặc \(m> \frac{7+3\sqrt{5}}{2}\)

PT \((*)\) có nghiệm âm khi mà:

\(\left\{\begin{matrix} \Delta'=-m^2+7m-1\geq 0\\ t_1+t_2=\frac{2(m+1)}{m-2}<0\\ t_1t_2=\frac{2m-1}{m-2}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}>m\geq \frac{7-3\sqrt{5}}{2}\)

Vậy để PT vô nghiệm thì \(\frac{1}{2}>m\geq \frac{7-3\sqrt{5}}{2}\) , \(m< \frac{7-3\sqrt{5}}{2}\) hoặc \(m> \frac{7+3\sqrt{5}}{2}\)

b) Để PT đã cho có nghiệm duy nhất thì (*) có nghiệm duy nhất. Với nghiệm \((*)\) thu được duy nhất là \(t=k\geq 0\), nếu \(k\neq 0\Rightarrow \) PT đã cho có 2 nghiệm \(\pm \sqrt{k}\) (không thỏa mãn).

Do đó nếu PT đã cho có nghiệm duy nhất thì nghiệm đó phải là 0

\(\Rightarrow (m-2).0^4-2(m+1).0^2+2m-1=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)

Thay vào thử lại thấy thỏa mãn.

Vậy \(m=\frac{1}{2}\)

c) Để PT đã cho có hai nghiệm thì \((*)\) có duy nhất một nghiệm dương, nghiệm còn lại âm. Khi đó:

\(\Delta'=-m^2+7m-1>0\) (1)

Và: \(t_1t_2<0\Leftrightarrow \frac{2m-1}{m-2}<0\Leftrightarrow \frac{1}{2}< m< 2\) (2)

Kết hợp (1); (2) suy ra \(\frac{1}{2}< m< 2\)

d)

PT ban đầu có ba nghiệm khi mà $(*)$ có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm còn lại là dương.

\((*)\) có nghiệm 0 thì PT ban đầu cũng có nghiệm 0. Theo phần b ta suy ra \(m=\frac{1}{2}\). Thử lại ta thấy với \(m=\frac{1}{2}\) thì PT ban đầu có nghiệm 0 duy nhất. Do đó không tồn tại $m$ để PT có ba nghiệm.

e)

Để PT ban đầu có 4 nghiệm thì $(*)$ có hai nghiệm dương phân biệt. Điều này xảy ra khi mà:

\(\Delta'=-m^2+7m-1>0\) (1)và: \(\left\{\begin{matrix} t_1+t_2=\frac{2(m+1)}{m-2}>0\\ t_1t_2=\frac{2m-1}{m-2}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m>2\) (2)

Từ (1); (2) suy ra \(2< m< \frac{7+3\sqrt{5}}{2}\)

1, \(x^4-19x^2-10x+8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+4\right)\left(x^3-4x^2-3x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+4\right)\left(x+1\right)\left(x^2-5x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+4=0\\x+1=0\\x^2-5x+2=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=-4\\x_2=-1\end{matrix}\right.\)

hoặc \(x^2-5x+2=0\)

\(\Rightarrow\Delta=17\left(CT:b^2-4ac\right)\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_3=\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}\\x_4=\dfrac{5-\sqrt{17}}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy pt có 4 n^o là...........

a) ta có : \(x^4+3x^3-2x^2+3x+1=0\)

\(\Leftrightarrow x^4-x^3+x^2+4x^3-4x^2+4x+x^2-x+1=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2-x+1\right)+4x\left(x^2-x+1\right)+\left(x^2-x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+4x+1\right)\left(x^2-x+1\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+4x+1=0\\x^2-x+1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}-2+\sqrt{3}\\-2-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\\x\in\varnothing\end{matrix}\right.\) vậy \(x=-2+\sqrt{3};x=-2-\sqrt{3}\)

b) ta có : \(x^4-2x^3-5x^2+2x+1=0\)

\(\Leftrightarrow x^4+x^3-x^2-3x^3-3x^2+3x-x^2-x+1=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2+x-1\right)-3x\left(x^2+x-1\right)-\left(x^2+x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-3x-1\right)\left(x^2+x-1\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-3x-1=0\\x^2+x-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}\\x=\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\\x=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

vậy \(x=\dfrac{3+\sqrt{13}}{2};x=\dfrac{3-\sqrt{13}}{2};x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2};x=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\)

\(\left(4a^2b^2\right)-\left(a^2+b^2-c^2\right)^2>0\\ \Rightarrow\left(2ab\right)^2-\left(a^2+b^2-c^2\right)^2>0\\ \Rightarrow\left(2ab-a^2-b^2+c^2\right)\left(2ab+a^2+b^2-c^2\right)>0\\ \Rightarrow\left(c^2-\left(a^2-2ab+b^2\right)\right)\left\{\left(a+b\right)^2-c^2\right\}>0\\ \Rightarrow\left(c^2-\left(a-b\right)^2\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)>0\\ \Rightarrow\left(c-a+b\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)>0\)

Luoonn đúng => đpcm

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x-2008=n\\2x+2009=h\\3x-2011=t\end{matrix}\right.\Rightarrow n+h+t=6x-2010\)

\(\Rightarrow pt\Leftrightarrow\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{h}=\dfrac{1}{n+h+t}-\dfrac{1}{t}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{n+h}{hn}=\dfrac{-\left(n+h\right)}{t\left(n+h+t\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(n+h\right)\left(\dfrac{1}{hn}+\dfrac{1}{t\left(n+h+t\right)}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(n+h\right)\dfrac{t\left(n+h+t\right)+hn}{hnt\left(n+h+t\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(n+h\right)\left(n+t\right)\left(t+h\right)}{hnt\left(n+h+t\right)}=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=-h\\n=-t\\t=-h\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2008=-\left(2x+2009\right)\\x-2008=-\left(3x-2011\right)\\3x-2011=-\left(2x+2009\right)\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{3}\\x=\dfrac{4019}{4}\\x=\dfrac{2}{5}\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x-2008=n\\2x+2009=h\\3x-2011=t\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow n+h+t=6x-2010\)

\(\Rightarrow pt\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{a+b+c}-\dfrac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{n+h}{hn}=\dfrac{-\left(n+h\right)}{t\left(n+h+t\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(n+h\right)\left(\dfrac{1}{hn}+\dfrac{1}{t\left(n+h+t\right)}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(n+h\right)\dfrac{t\left(n+h+t\right)+hn}{hnt\left(n+h+t\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(n+h\right)\left(n+t\right)\left(t+h\right)}{hnt\left(n+h+t\right)}=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=-h\\n=-t\\t=-h\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2008=-\left(2x+2009\right)\\x-2008=-\left(3x-2011\right)\\3x-2011=-\left(2x+2009\right)\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{3}\\x=\dfrac{4019}{4}\\x=\dfrac{2}{5}\end{matrix}\right.\)