§2. Phương trình đường tròn

\(R=d\left(I;\Delta\right)=\dfrac{\left|1\cdot1+\left(-3\right)\cdot\left(-2\right)+3\right|}{\sqrt{1^2+4}}=2\sqrt{5}\)

Phương trình đường tròn là:

\(\left(x-1\right)^2+\left(y+3\right)^2=20\)

\(R=\dfrac{\left|1-2.\left(-3\right)+3\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}=2\sqrt{5}\)

Phương trình đường tròn : \(\left(x-1\right)^2+\left(y+3\right)^2=20\)

su dung tre

Tọa độ tâm I là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_I=\dfrac{-1-3}{2}=-2\\y_I=\dfrac{-2+0}{2}=-1\end{matrix}\right.\)

\(R=AI=\sqrt{\left(-2+1\right)^2+\left(-1+2\right)^2}=\sqrt{2}\)

Phương trình đường tròn là:

\(\left(x+2\right)^2+\left(y+1\right)^2=2\)

nug pug

\(\left(C\right):x^2-2x+1+y^2+8y+16-49=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y+4\right)^2=49=7^2\)

Vậy: Tâm là I(1;-4) và R=7

nahao bang su dung 1

\(\cos2A+\cos2B+\cos2C=-1\)

\(\Leftrightarrow\cos2A+\cos2B+\cos2C+1=0\)

\(\Leftrightarrow2\cos\left(A+B\right)\cos\left(A-B\right)+2\cos^2C=0\)

\(\Leftrightarrow2\cos\left(180^0-C\right)\cos\left(A-B\right)+2\cos^2C=0\)

\(\Leftrightarrow-2\cos C\cos\left(A-B\right)+2\cos^2C=0\)

\(\Leftrightarrow-2\cos C(\cos\left(A-B\right)-\cos C)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\cos C=0\\\cos\left(A-B\right)=\cos C\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}C=90^0\\A-B=C\\A-B=-C\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}C=90^0\\A=B+C\\A+C=B\end{matrix}\right.\)

Nếu \(A=B+C\Rightarrow A=B+C=\dfrac{180^o}{2}=90^o\) Tam giác ABC vuông tại A.

Nếu \(B=A+C\Rightarrow B=A+C=\dfrac{180^o}{2}=90^o\) Tam giác ABC vuông tại B.

Vậy, nếu \(\cos2A+\cos2B+\cos2C=-1\) thì tam giác ABC là tam giác vuông.

     `d(I , d) = R`

`=> [ | 4 . 1 - 3 . (-1) + 3 | ] / \sqrt{4^2 + (-3)^2} = R`

`=> R = 2`

$\bullet$ Ptr đường tròn là: `( x - 1 )^2 + ( y + 1 )^2 = 4`

a: vecto AB=(1;-1); vecto AC=(2;1); vecto BC=(1;2)

AB có VTPT là (1;1)

Phương trình AB là;

1(x-1)+1(y+1)=0

=>x+y=0

AC có VTPT là (-1;2)

PT AC là:

-1(x-1)+2(y+1)=0

=>-x+1+2y+2=0

=>-x+2y+3=0

BC có VTPT là (-2;1)

PT BC là;

-2(x-2)+1(y+2)=0

=>-2x+y+6=0

b: AH có VTPT là (1;2)

Phương trình AH là:

1(x-1)+2(y+1)=0

=>x-1+2y+2=0

=>x+2y+1=0

\(R=IA=\sqrt{\left(3--1\right)^2+\left(-2-1\right)^2}=5\)  PT đường tròn : \(\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2=25\)

Chọn C 

531:

Khi x=1 thì y^2+1=2

=>y=1 hoặc y=-1

=>A(1;1); B(1;-1)

(C): x^2+y^2=2

=>I(0;0); R=căn 2

vecto IA=(1;1)

=>(d1) có VTPT là (1;1)

Phương trình (d1) là:

1(x-1)+1(y-1)=0

=>x+y-2=0

vecto IB=(1;-1)

=>(d2) có VTPT là (1;-1)

Phương trình (d2) là:

1(x-1)+(-1)(y+1)=0

=>x-1-y-1=0

=>x-y-2=0

(d1): VTPT là (1;1)

(d2): VTPT là (1;-1)

=>(d1) vuông góc (d2)

Đường tròn (C) tâm \(I\left(1;1\right)\) bán kính \(R=4\)

\(\overrightarrow{IA}=\left(1;-1\right)\Rightarrow IA=\sqrt{2}\) (chà, rắc rối rồi, do \(\dfrac{IA}{R}< \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) nên tam giác IMN không bao giờ có thể vuông được)

Ta có: \(S_{\Delta IMN}=\dfrac{1}{2}IM.IN.sin\widehat{MIN}=\dfrac{1}{2}R^2.sin\widehat{MIN}\)

\(\Rightarrow S_{IMN-max}\) khi \(sin\widehat{MIN}\) đạt max

Gọi H là trung điểm MN \(\Rightarrow IH\perp MN\Rightarrow IH\le IA\)

Do vai trò M, N là như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử M, H nằm cùng phía so với A

\(cos\widehat{MIH}=\dfrac{IH}{IM}\le\dfrac{IA}{IM}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\Rightarrow\widehat{MIH}\ge69^018'\) (do \(0< \widehat{MIH}\le90^0\) nên  \(cos\widehat{MIH}\) nghịch biến so với \(\widehat{MIH}\))

\(\Rightarrow\widehat{MIN}=2\widehat{MIH}>90^0\Rightarrow sin\widehat{MIN}\) nghịch biến so với \(\widehat{MIN}\)

\(\Rightarrow sin\widehat{MIN}_{max}\) khi \(\widehat{MIN}_{min}\)

Lại có: \(\widehat{MIN}=180^0-2.\widehat{IMH}\Rightarrow\widehat{MIN}_{min}\) khi \(\widehat{IMH}_{max}\)

\(\Rightarrow sin\widehat{IMH}_{max}\) (\(0\le\widehat{IMH}\le90^0\) nên \(sin\widehat{IMH}\) và \(\widehat{IMH}\) đồng biến)

\(sin\widehat{IMH}=\dfrac{IH}{IM}\le\dfrac{IA}{IM}\Rightarrow sin\widehat{IMH}_{max}\) khi H trùng A

Hay \(S_{\Delta IMN-max}\) khi H trùng A \(\Leftrightarrow d\perp IA\)

\(\Rightarrow d\) nhận (1;-1) là 1 vtpt

Phương trình d: \(1\left(x-2\right)-y=0\Leftrightarrow x-y-2=0\)