Bài 2: Cực trị hàm số

\(y'=x^2+x+m\)

Để hàm có cực đại cực tiểu có hoành độ lớn hơn m thì:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta=1-4m>0\\m< x_1< x_2\\\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{1}{4}\\\left(x_1-m\right)\left(x_2-m\right)>0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}>m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{1}{4}\\x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)m+m^2>0\\-\dfrac{1}{2}>m\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -\dfrac{1}{2}\\2m+m^2>0\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -\dfrac{1}{2}\\\left[{}\begin{matrix}m>0\\m< -2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m< -2\)

\(y'=3x^2-6x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y_{CĐ}=y\left(0\right)=m\)

\(y_{CT}=y\left(2\right)=m-4\)

\(y_{CĐ}\) và \(y_{CT}\) trái dấu khi và chỉ khi:

\(m\left(m-4\right)< 0\Leftrightarrow0< m< 4\)

\(y'=3x^2-2\left(2m-1\right)x+2-m\)

Hàm có các cực trị dương khi pt \(y'=0\) có 2 nghiệm dương phân biệt

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=\left(2m-1\right)^2-3\left(2-m\right)>0\\x_1+x_2=\dfrac{2\left(2m-1\right)}{3}>0\\x_1x_2=\dfrac{2-m}{3}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4m^2-m-5>0\\m>\dfrac{1}{2}\\m< 2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{5}{4}< m< 2\)

đi từ hướng làm để ra được bài toán: 

Ta thấy muốn f(|x|) có 5 điểm cực trị thì f'(x) phải có 2 điểm cực trị dương

giải f'(x)=0 \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\x^2-2\left(m+1\right)x+m^2-1=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\) phương trình (2) phải có 2 nghiệm phân biệt trái dấu nhau 

Ta có: \(\Delta>0\Leftrightarrow m>-1\)

Theo yêu cầu bài toán: \(m^2-1>0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m< -1\\m>1\end{matrix}\right.\) 

Đề đúng là \(y=mx^2+2\left(m^2-5\right)x^4+4\) chứ bạn (nghĩa là ko bị nhầm lẫn vị trí \(x^2\) và \(x^4\))

Hàm có đúng 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(m^2-5\right)< 0\\2\left(m^2-5\right).m< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow0< m< \sqrt{5}\)

\(\Rightarrow\) có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn

Để hàm bậc 3 có 2 cực trị nằm về 2 phía trục hoành

\(\Leftrightarrow y=0\) có 3 nghiệm pb

\(\Leftrightarrow x^3-\left(2m+1\right)x^2+\left(m+1\right)x+m-1=0\) có 3 nghiệm pb

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2-2mx-m+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x^2-2mx-m+1=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Bài toán thỏa mãn khi (1) có 2 nghiệm pb khác 1

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=1-2m-m+1\ne0\\\Delta'=m^2+m-1>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne\dfrac{2}{3}\\\left[{}\begin{matrix}m< \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\\m>\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Có 19 số tự nhiên nhỏ hơn 20 thỏa mãn

\(\sqrt{2}\) - \((a)^{2}\)

\(\left(a\right)^2\)

\(y'=\dfrac{2x^2-\left(x^2+4\right)}{x^2}=\dfrac{x^2-4}{x^2}\)

Các điểm dừng: \(\left[{}\begin{matrix}x^2-4=0\\x^2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=\left\{-2;0;2\right\}\)

Bảng biến thiên:

Từ BBT ta thấy \(x=-2\) là điểm cực đại và \(x=2\) là điểm cực tiểu của hàm số

Với `x>0`

`=>y=x+4/x>=4`

Dấu "=" `<=>x=2`.