Bài 2: Cực trị hàm số

\(y'=2f'\left(x\right).f'\left(f\left(x\right)\right)-2f'\left(x\right).f\left(x\right)\)

\(y'=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}f'\left(x\right)=0\\f'\left(f\left(x\right)\right)=f\left(x\right)\end{matrix}\right.\)

Từ đồ thị ta có \(f'\left(x\right)=0\Rightarrow x=x_1\) với \(-4< x_1< 0\)

Xét phương trình \(f'\left(f\left(x\right)\right)=f\left(x\right)\), đặt \(f\left(x\right)=t\Rightarrow f'\left(t\right)=t\)

Vẽ đường thẳng \(y=t\) (màu đỏ) lên cùng đồ thị \(y=f'\left(t\right)\) như hình vẽ:

Ta thấy 2 đồ thị cắt nhau tại 3 điểm: \(t=\left\{-4;1;4\right\}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(x\right)=-4\\f\left(x\right)=1\\f\left(x\right)=4\end{matrix}\right.\) (1)

Mặt khác từ đồ thị \(f'\left(x\right)\) và \(f\left(0\right)=-4\) ta được BBT của \(f\left(x\right)\) có dạng:

Từ đó ta thấy các đường thẳng \(y=k\ge-4\) luôn cắt \(y=f\left(x\right)\) tại 2 điểm phân biệt

\(\Rightarrow\) Hệ (1) có 6 nghiệm phân biệt (trong đó 3 nghiệm nhỏ hơn \(x_1\) và 3 nghiệm lớn hơn \(x_1\))

Từ đó ta có dấu của y' như sau:

Có 3 lần y' đổi dấu từ dương sang âm nên hàm có 3 cực đại

Chọn A

\(y'=-3x^2+2.\left(2m-1\right).x-\left(2-m\right)\)

\(\Delta y'=\left[2\left(2m-1\right)\right]^2-4.\left(-3\right).\left[-\left(2-m\right)\right]\)

       = \(4.\left(4m^2-4m+1\right)+12.\left(m-2\right)\)

       = \(16m^2-16m+4+12m-24\)

       = \(16m^2-4m-20\)

\(\Delta>0\Leftrightarrow16m^2-4m-20>0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -1\\m>1,25\end{matrix}\right.\)

Với \(a=0\) hàm ko có cực trị (ktm)

Với \(a\ne0\)

\(y'=5a^2x^2+4ax-9\)

Do \(ac=45a^2< 0\Rightarrow y'=0\) luôn có 2 nghiệm trái dấu hay hàm luôn có 1 cực trị âm, 1 cực trị dương

\(\Rightarrow\) Không tồn tại a;b thỏa mãn yêu cầu

Em coi lại đề, ngay từ yêu cầu "các cực trị đều là số dương" và \(x=-\dfrac{5}{9}\) (âm) là cực đại đã thấy đề mâu thuẫn.

\(y=\dfrac{x^3}{3}-x^2+2x-1\)

\(y'=x^2-2x+2=\left(x-1\right)^2+1>0\) ; \(\forall x\)

\(\Rightarrow\) Hàm số đã cho không có cực trị

Lời giải:
TXĐ: $[-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2}]$

$y=x-\sqrt{8-x^2}$

$y'=\frac{x+\sqrt{8-x^2}}{\sqrt{8-x^2}}=0\Leftrightarrow x=-2$

\(y''=\frac{8}{\sqrt{(8-x^2)^3}}\Rightarrow y''(-2)>0\)

Do đó hàm số đạt cực tiểu tại $x=-2$ và giá trị cực trị $y=-4$
 

A

có 19 giá trị

chọn B

\(f\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm \(x_1< -1< x_2< 0\)

\(f'\left(x\right)=0\) có 3 nghiệm \(x=-1\) ; \(0< x_3< 1< x_4< 2\)

\(g'\left(x\right)=2f'\left(x\right).f\left(x\right)\)

Bảng xét dấu:

g(x) có 3 cực tiểu và 2 cực đại

- Với \(x< 3\Rightarrow f'\left(x\right)=6x^2-6\left(m+1\right)x+6m=6\left(x-1\right)\left(x-m\right)\)

\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow6\left(x-1\right)\left(x-m\right)=0\left(1\right)\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=m\end{matrix}\right.\) có tối đa 2 cực trị khi \(x< 3\)

- Với \(x>3\Rightarrow f'\left(x\right)=n\) là hằng số \(\Rightarrow f\left(x\right)\) ko có cực trị khi \(x>3\)

\(\Rightarrow\) Hàm có đúng 3 điểm cực trị khi và chỉ khi nó đồng thời thỏa mãn:

ĐK1: \(f'\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm pb khi \(x< 3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 3\\m\ne1\end{matrix}\right.\)

ĐK2: \(x=3\) là 1 cực trị của hàm số

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) liên tục tại \(x=3\) đồng thời đạo hàm đổi dấu khi đi qua \(x=3\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow3^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow3^-}f\left(x\right)\Leftrightarrow3n+46=25-9m\Rightarrow n=-3m-7\) (2)

Mặt khác do 2 nghiệm của (1) đều nhỏ hơn 3 \(\Rightarrow\) tại lân cận trái của \(x=3\) đạo hàm luôn có dấu dương

\(\Rightarrow\) Để đạo hàm đổi dấu khi đi qua \(x=3\) thì \(f'\left(3^+\right)=n< 0\)

Thế vào (2) \(\Rightarrow-3m-7< 0\Rightarrow m>-\dfrac{7}{3}\)

\(\Rightarrow-\dfrac{7}{3}< m< 3\Rightarrow\sum m=0\)