Bài 1: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^3+x-1=\left(\sqrt{1-y^2}\right)^3+\sqrt{1-y^2}\)

Xét \(f\left(t\right)=t^3+t\)

\(\Rightarrow f'\left(t\right)=3t^2+1>0\forall t\)

\(\Rightarrow\) f(t) đồng biến trên R nên f(t)=0 có nhiều nhất 1 nghiệm

\(f\left(x-1\right)=f\left(\sqrt{1-y^2}\right)\)\(\Rightarrow x-1=\sqrt{1-y^2}\)

\(P=\left(\sqrt{1-y^2}+1\right)^2+y^2+4\left(\sqrt{1-y^2}+1\right)-8y\)

\(=6+6\sqrt{1-y^2}-8y\)

\(P'=\dfrac{-6y}{\sqrt{1-y^2}}-8\), \(y\in\left(-1;1\right)\), \(P'=0\Leftrightarrow y=-0,8\left(tm\right)\)

Vẽ BBT, \(P_{max}=16\Leftrightarrow y=-0,8,x=1,6\)

Nhìn BBT thì ta thấy hàm \(f\left(x\right)\) là hàm bậc 4 đạt cực đại x=-2, x=2, đồng thời cũng đạt GTLN tại 2 vị trí này (có thể phác thảo BBT của \(f\left(x\right)\) ra là thấy ngay)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\le f\left(\pm2\right)=0;\forall x\) (1)

\(y=\left[f\left(3-x\right)\right]^2\Rightarrow y'=-2f\left(3-x\right).f'\left(3-x\right)\le0\)

\(\Rightarrow f'\left(3-x\right)\le0\) (do \(-2.f\left(3-x\right)\ge0;\forall x\) theo (1))

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}-2\le3-x\le1\\3-x\ge2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2\le x\le5\\x\le1\end{matrix}\right.\)

Hàm là \(y=x^2+\left(5-2m\right)x-\dfrac{1}{x+1}-3\) hay \(y=\dfrac{x^2+\left(5-2m\right)x-1}{x+1}-3\) em nhỉ?

Em nên sử dụng công thức toán học để ghi các biểu thức cho đỡ lỗi hiển thị, nó nằm ở chỗ khoanh đỏ này trên khung soạn thảo: 

Hàm \(y=sin2x\) đồng biến trên \(\left(-\dfrac{\pi}{12};\dfrac{\pi}{4}\right)\)

Đặt \(sin2x=t\in\left(-\dfrac{1}{2};1\right)\), hàm đồng biến trên khoảng đã cho khi \(y=\dfrac{t-1}{t+m}\) có \(y'=\dfrac{m+1}{\left(t+m\right)^2}\) đồng biến trên \(\left(-\dfrac{1}{2};1\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+1>0\\\left[{}\begin{matrix}-m\le-\dfrac{1}{2}\\-m\ge1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\\left[{}\begin{matrix}m\ge\dfrac{1}{2}\\m\le-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m\ge\dfrac{1}{2}\)

Ta có: \(f'\left(x\right)=m^2x^4-mx^2+20x-\left(m^2-m-20\right)\)

\(f'\left(x\right)=m^2x^4-mx^2+20x-\left(m^2-m-20\right)\)

\(=m^2\left(x^4-1\right)-m\left(x^2-1\right)+20\left(x+1\right)\)

\(=\left(x+1\right)\left(m^2\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)-m\left(x-1\right)+20\right)\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)=0\) luôn có 1 nghiệm \(x=-1\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên R khi \(m^2\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)-m\left(x-1\right)+20=0\) cũng có nghiệm \(x=-1\) (khi đó \(x=-1\) là nghiệm bội chẵn)

\(\Rightarrow-4m^2+2m+20=0\)

\(\Rightarrow m_1m_2=\dfrac{20}{-4}=-5\) theo Viet

- Với \(m=1\Rightarrow y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}\) nghịch biến trên R (thỏa mãn)

- Với \(m\ne1\Rightarrow y'=\dfrac{m^2-m-2}{\left[\left(m-1\right)x-2\right]^2}\)

Hàm nghịch biến trên khoảng đã cho khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m^2-m-2< 0\\\dfrac{2}{m-1}\ge1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1< m< 2\\1< m\le3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow1\le m< 2\)

\(g'\left(x\right)=3f'\left(3x+1\right)-6x+1\ge0\)

\(\Rightarrow f'\left(3x+1\right)\ge\dfrac{6x-1}{3}\)

Đặt \(3x+1=t\Rightarrow f'\left(t\right)\ge\dfrac{2t-3}{3}\)

Vẽ đường thẳng \(y=\dfrac{2t-3}{3}\) (đi qua 2 điểm (1;3), (0,-1) và (-3;-3)) lên cùng hệ trục với đồ thị \(f'\left(t\right)\)

Ta thấy \(f'\left(t\right)\ge\dfrac{2t-3}{3}\) khi \(\left[{}\begin{matrix}t\le-3\\0\le t\le3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow g\left(x\right)\) đồng biến khi: \(\left[{}\begin{matrix}3x+1\le-3\\0\le3x+1\le3\\\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le-\dfrac{4}{3}\\-\dfrac{1}{3}\le x\le\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)

Do \(\left(0;\dfrac{2}{3}\right)\in\left[-\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}\right]\) nên B đúng

\(y'=3+m\left(cosx-sinx\right)\)

Hàm đồng biến trên R khi với mọi m ta có:

\(3+m\left(cosx-sinx\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}m.cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\ge-3\)

\(\Leftrightarrow m.cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\ge-\dfrac{3}{\sqrt{2}}\)

- Với \(m=0\) thỏa mãn

- Với \(m>0\Rightarrow cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\ge-\dfrac{3}{m\sqrt{2}}\Rightarrow-\dfrac{3}{m\sqrt{2}}\le-1\)

\(\Rightarrow m\le\dfrac{3}{\sqrt{2}}\)

- Với \(m< 0\Rightarrow cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\le-\dfrac{3}{m\sqrt{2}}\Rightarrow-\dfrac{3}{m\sqrt{2}}\ge1\)

\(\Rightarrow m\ge-\dfrac{3}{\sqrt{2}}\)

Kết hợp lại ta được \(-\dfrac{3}{\sqrt{2}}\le m\le\dfrac{3}{\sqrt{2}}\)

Có 5 giá trị nguyên của m

Hình nhỏ quá ko biết đâu là đồ thị \(f'\left(x\right)\) đâu là \(g'\left(x\right)\)

\(y'=f'\left(x\right)-g'\left(x\right)\ge0\Rightarrow f'\left(x\right)\ge g'\left(x\right)\)

Quan sát trên hình coi ở đoạn này đồ thị \(f'\left(x\right)\) nằm trên \(g'\left(x\right)\) thì đó là khoảng ĐB

Giả sử đường cong màu xanh là \(f'\left(x\right)\) thì hàm đồng biến trên \(\left(-1;0\right)\) và \(\left(1;+\infty\right)\)