Bài 1: Nguyên hàm

Cu Kenn
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
18 tháng 2 lúc 23:45

Đặt \(\sqrt[12]{x}=t\Rightarrow x=t^{12}\Rightarrow dx=12t^{11}dt\)

\(I=\int\dfrac{12t^{11}dt}{t^8-t^9}=\int\dfrac{12t^{11}dt}{t^8\left(1-t\right)}=\int\dfrac{12t^3dt}{1-t}\)

\(=-12\int\left(t^2+t+1+\dfrac{1}{t-1}\right)dt\)

\(=-12\left(\dfrac{t^3}{3}+\dfrac{t^2}{2}+t+ln\left|t-1\right|\right)+C\)

\(=-12\sqrt[4]{x}-6\sqrt[6]{x}-12\sqrt[12]{x}-12ln\left|\sqrt[12]{x}-1\right|+C\)

Bình luận (4)
park Chaeyoung
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
17 tháng 2 lúc 6:20

\(\int\left(cos^3x-1\right)cos^2xdx=\int\left(cos^5x-cos^2x\right)dx\)

\(=\int cos^4x.cosxdx-\int\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}cos2x\right)dx\)

\(=\int\left(1-sin^2x\right)^2.d\left(sinx\right)-\int\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}cos2x\right)dx\)

\(=\int\left(sin^4x-2sin^2x+1\right)d\left(sinx\right)-\int\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}cos2x\right)dx\)

\(=\dfrac{sin^5x}{5}-\dfrac{2sin^3x}{3}+sinx-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}sin2x+C\)

Bình luận (0)
Phạm Trần Phát
Xem chi tiết

\(\dfrac{x^2-4x+2}{x^2+2x-3}\)

\(=\dfrac{x^2+2x-3-6x-5}{x^2+2x-3}\)

\(=1-\dfrac{6x+5}{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}\)

Đặt \(\dfrac{6x+5}{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}=\dfrac{A}{x+3}+\dfrac{B}{x-1}\)

=>\(6x+5=A\left(x-1\right)+B\left(x+3\right)\)

=>\(6x+5=x\left(A+B\right)-A+3B\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}A+B=6\\-A+3B=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}B=\dfrac{11}{4}\\A=6-\dfrac{11}{4}=\dfrac{13}{4}\end{matrix}\right.\)

vậy: \(\dfrac{x^2-4x+2}{x^2+2x-3}=1-\dfrac{13}{4x+12}-\dfrac{11}{4x-4}\)

\(\int\dfrac{x^2-4x+2}{x^2+2x-3}dx=\int1-\dfrac{13}{4x+12}-\dfrac{11}{4x-4}dx\)

\(=x-\dfrac{13}{4}\cdot ln\left|x+3\right|-\dfrac{11}{4}\cdot ln\left|x-1\right|\)

 

Bình luận (0)
Phạm Trần Phát
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
19 tháng 1 lúc 20:25

\(\int\left(3x^2-2x-4\right)dx=x^3-x^2-4x+C\)

\(\int\left(sin3x-cos4x\right)dx=-\dfrac{1}{3}cos3x-\dfrac{1}{4}sin4x+C\)

\(\int\left(e^{-3x}-4^x\right)dx=-\dfrac{1}{3}e^{-3x}-\dfrac{4^x}{ln4}+C\)

d. \(I=\int lnxdx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x}\\v=x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow u=x.lnx-\int dx=x.lnx-x+C\)

e. Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=e^x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=x.e^x-\int e^xdx=x.e^x-e^x+C\)

f.

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x+1\\dv=sinxdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=-cosx\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=-\left(x+1\right)cosx+\int cosxdx=-\left(x+1\right)cosx+sinx+C\)

g.

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x}\\v=\dfrac{1}{2}x^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{2}x^2.lnx-\dfrac{1}{2}\int xdx=\dfrac{1}{2}x^2.lnx-\dfrac{1}{4}x^2+C\)

Bình luận (0)
nguynquynh
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
7 tháng 1 lúc 20:50

\(\int\dfrac{x+1}{x^2+2x+2}dx=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{2x+2}{x^2+2x+2}dx=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{d\left(x^2+2x+2\right)}{x^2+2x+2}\)

\(=\dfrac{1}{2}ln\left(x^2+2x+2\right)+C\)

Bình luận (0)
Technology I
9 tháng 1 lúc 22:38

Để tìm nguyên hàm của y=x+1/x²+2x+2, ta cần xác định giá trị của hàm tại một điểm nào đó.

Giá trị của hàm tại điểm nhân nguyên tố nhất là một phương án đáng tin cậy.

Trong trường hợp này, ta chọn điểm nhân nguyên tố nhất là 3.

Để tính giá trị của hàm tại điểm 3, ta đặt x=3 vào hàm y=x+1/x²+2x+2:

y=3+1/3²+2(3)+2

Ta tiến hành tính toán:

y=3+1/9+6+2

y=3+1/9+12+2

y=3+11/9+2

y=3+12/9

y=3+4/3

y=3+4

y=7

Như vậy, giá trị của hàm tại điểm 3 là 7. Do đó, nguyên hàm của y=x+1/x²+2x+2 là y=7.

Tóm lại, để tìm nguyên hàm của y=x+1/x²+2x+2, ta đã tìm được rằng giá trị của hàm tại điểm 3 là 7, do đó, nguyên hàm của y=x+1/x²+2x+2 là y=7.

   
Bình luận (0)
nguynquynh
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
5 tháng 1 lúc 20:14

\(\int\dfrac{lny}{y}dy=\int lny.d\left(lny\right)=\dfrac{ln^2y}{2}+C\)

Bình luận (0)
Phạm Trần Phát
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
2 tháng 1 lúc 21:06

\(=\int\left(6x^2-\dfrac{4}{x}+sin3x-cos4x+e^{2x+1}+9^{x-1}+\dfrac{1}{cos^2x}-\dfrac{1}{sin^2x}\right)dx\)

\(=2x^3-4ln\left|x\right|-\dfrac{1}{3}cos3x-\dfrac{1}{4}sin4x+\dfrac{1}{2}e^{2x+1}+\dfrac{9^{x-1}}{ln9}+tanx+cotx+C\)

Bình luận (0)
Slays Hin
Xem chi tiết
Nguyễn Ngân Hòa
10 tháng 2 2022 lúc 9:08

Ta có: \(\int\dfrac{xdx}{x^2+3}\)

Đặt \(u=x^2+3\left(u>0\right)\) 

Có \(du=2xdx\)

\(\Rightarrow\int\dfrac{xdx}{x^2+3}=\)\(\int\dfrac{du}{2u}=\dfrac{1}{2}ln\left(u\right)=\dfrac{1}{2}ln\left(x^2+3\right)\)

Bình luận (1)
Ngô Mỹ Hà
1 tháng 5 2023 lúc 21:23

(2*x)/1 -x = 0

 

Bình luận (0)
Nguyễn Đắc Phúc An
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
18 tháng 3 2023 lúc 10:55

\(\int\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2x}dx=\int\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}\right)dx\)

\(=ln\left|x\right|-ln\left|x-1\right|-\dfrac{1}{x-1}+C\)

\(=ln\left|\dfrac{x}{x-1}\right|-\dfrac{1}{x-1}+C\)

Bình luận (0)