Giúp em với ạ
Giúp em với ạ
Giả sử \(\left(a^4+b^4\right)\left(a^6+b^6\right)\le2\left(a^{10}+b^{10}\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^{10}+2b^{10}-a^{10}-a^4b^6-a^6b^4-b^{10}\ge0\\ \Leftrightarrow a^{10}+b^{10}-a^4b^6-a^6b^4\ge0\\ \Leftrightarrow a^4\left(a^6-b^6\right)-b^4\left(a^6-b^6\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a^4-b^4\right)\left(a^6-b^6\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)^2\left(a^2+b^2\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
Ta thấy BĐT trên luôn đúng
Suy ra đpcm
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b\)
à bạn sửa lại
Dấu \("="\Leftrightarrow a=\pm b\)
Giúp với ạ
\(f,\dfrac{x^2}{1+x^4}\le\dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow2x^2\le1+x^4\\ \Leftrightarrow x^4-2x^2+1\ge0\\ \Leftrightarrow\left(x^2-1\right)^2\ge0\left(luôn.đúng\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x^2-1=0 \Leftrightarrow x^2=1\\ \Leftrightarrow x=\pm1\)
Giúp em với ạ
a. a2+b2+4 ≥ ab + 2(a+b) ∀ a,b
b. \(\dfrac{x^2}{1+x^2}\)≤ \(\dfrac{1}{2}\)
c. (a4+b4) . (a6+b6) ≤ 2(a10 + b10) ∀ a , b
Giúp em bài này với ạ :(((
a,Áp dụng BĐT Cosi ta có:
\(a^2+\dfrac{1}{a^2}\ge2\sqrt{a^2.\dfrac{1}{a^2}}=2.1=2\)
dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a^2=\dfrac{1}{a^2} \Leftrightarrow a^4=1\Leftrightarrow a=\pm 1\)
\(b,\dfrac{a+b}{2}\le\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\le\dfrac{a^2+b^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}\le\dfrac{a^2+b^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow2a^2+4ab+2b^2\le4a^2+4b^2\)
\(\Leftrightarrow-2a^2+4ab-2b^2\le0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(luôn.đúng\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
Cho ba số thực dương a; b và c thỏa mãn :\(a+b+c=3\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
\(P=\sqrt{9a+16b}+\sqrt{9b+16c}+\sqrt{9c+16a}\)
\(P\le\sqrt{3\left(9a+16b+9b+16c+9c+16a\right)}=\sqrt{75\left(a+b+c\right)}=15\)
\(P_{max}=15\) khi \(a=b=c=1\)
Cho 2 số thực dương \(x;y\) và \(x>y\). Chứng minh rằng \(x+2y+\dfrac{216}{\left(x-y\right).\left(3y+2\right)}\ge16\)
\(A=x+2y+\dfrac{216}{\left(x-y\right)\left(3y+2\right)}=x-y+3y+2+\dfrac{216}{\left(x-y\right)\left(3y+2\right)}-2\)\(\)
\(\Rightarrow x-y+3y+2+\dfrac{216}{\left(x-y\right)\left(3y+2\right)}\ge3\sqrt[3]{\left(x-y\right)\left(3y+2\right).\dfrac{216}{\left(x-y\right)\left(3y+2\right)}}\ge3\sqrt[3]{6^3}\ge18\)
\(\Rightarrow x-y+3y+2+\dfrac{216}{\left(x-y\right)\left(3y+2\right)}-2\ge18-2\ge16\)
\(\Rightarrow A\ge16\left(dpcm\right)\) \(dấu"="\) \(xảy\) \(ra\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{22}{3}\\y=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)
Xin nhờ quý thầy cô và các bạn yêu toán gần xa giúp đỡ với ạ!
Áp dụng BĐT cosi dạng \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\cdot\dfrac{1}{4}\ge\dfrac{4}{a+b}\cdot\dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{2a+b+c}=\dfrac{a}{a+b+a+c}\le\dfrac{a}{4}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)\)
Cmtt \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{a+2b+c}\le\dfrac{b}{4}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}\right)\\\dfrac{c}{a+b+2c}\le\dfrac{c}{4}\left(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}\right)\end{matrix}\right.\)
Cộng VTV 3 BĐT trên:
\(\Leftrightarrow VT\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{c}{b+c}\right)\\ \Leftrightarrow VT\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{a+c}{a+c}\right)=\dfrac{1}{4}\cdot3=\dfrac{3}{4}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c\)
Xin phép nhờ quý thầy cô và các bạn giúp đỡ với ạ. Em cám ơn nhiều
Lời giải:
\(2P=a^3(\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a})+b^3(\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1+b})+c^3(\frac{1}{1-c}+\frac{1}{c+1})\)
\(=\sum \frac{a^3}{1-a}+\sum \frac{a^3}{1+a}=\sum \frac{a^3}{b+c}+\sum \frac{a^3}{2a+b+c}\)
\(=\sum \frac{a^4}{ab+ac}+\sum \frac{a^4}{2a^2+ab+ac}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab+bc+ac)}+\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac)}\) (theo BĐT Cauchy-Schwarz)
\(\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}+\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{4(a^2+b^2+c^2)}=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)\) (theo BĐT AM-GM)
\(\geq \frac{3}{4}.\frac{1}{3}(a+b+c)^2=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{1}{8}\)
Vậy $P_{\min}=\frac{1}{8}$ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
\(P=\dfrac{2}{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}-\dfrac{3}{\sqrt{a+b+c}}\)