§1. Bất đẳng thức

17_10A3_Nguyễn Trần Bảo...
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Minh
27 tháng 11 2021 lúc 21:48

Giả sử \(\left(a^4+b^4\right)\left(a^6+b^6\right)\le2\left(a^{10}+b^{10}\right)\)

\(\Leftrightarrow2a^{10}+2b^{10}-a^{10}-a^4b^6-a^6b^4-b^{10}\ge0\\ \Leftrightarrow a^{10}+b^{10}-a^4b^6-a^6b^4\ge0\\ \Leftrightarrow a^4\left(a^6-b^6\right)-b^4\left(a^6-b^6\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a^4-b^4\right)\left(a^6-b^6\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)^2\left(a^2+b^2\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)

Ta thấy BĐT trên luôn đúng

Suy ra đpcm

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b\)

Bình luận (2)
Nguyễn Hoàng Minh
27 tháng 11 2021 lúc 21:48

à bạn sửa lại 

Dấu \("="\Leftrightarrow a=\pm b\)

Bình luận (0)
ILoveMath
27 tháng 11 2021 lúc 21:05

\(f,\dfrac{x^2}{1+x^4}\le\dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow2x^2\le1+x^4\\ \Leftrightarrow x^4-2x^2+1\ge0\\ \Leftrightarrow\left(x^2-1\right)^2\ge0\left(luôn.đúng\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x^2-1=0 \Leftrightarrow x^2=1\\ \Leftrightarrow x=\pm1\)

Bình luận (0)
17_10A3_Nguyễn Trần Bảo...
Xem chi tiết
17_10A3_Nguyễn Trần Bảo...
Xem chi tiết
ILoveMath
27 tháng 11 2021 lúc 20:11

a,Áp dụng BĐT Cosi ta có:

\(a^2+\dfrac{1}{a^2}\ge2\sqrt{a^2.\dfrac{1}{a^2}}=2.1=2\)

dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a^2=\dfrac{1}{a^2} \Leftrightarrow a^4=1\Leftrightarrow a=\pm 1\)

 

Bình luận (1)
ILoveMath
27 tháng 11 2021 lúc 20:14

\(b,\dfrac{a+b}{2}\le\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\le\dfrac{a^2+b^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}\le\dfrac{a^2+b^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow2a^2+4ab+2b^2\le4a^2+4b^2\)

\(\Leftrightarrow-2a^2+4ab-2b^2\le0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(luôn.đúng\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

 

Bình luận (0)
Phạm Kim Oanh
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
1 tháng 11 2021 lúc 17:28

\(P\le\sqrt{3\left(9a+16b+9b+16c+9c+16a\right)}=\sqrt{75\left(a+b+c\right)}=15\)

\(P_{max}=15\) khi \(a=b=c=1\)

Bình luận (2)
Phạm Kim Oanh
Xem chi tiết
missing you =
31 tháng 10 2021 lúc 17:11

\(A=x+2y+\dfrac{216}{\left(x-y\right)\left(3y+2\right)}=x-y+3y+2+\dfrac{216}{\left(x-y\right)\left(3y+2\right)}-2\)\(\)

\(\Rightarrow x-y+3y+2+\dfrac{216}{\left(x-y\right)\left(3y+2\right)}\ge3\sqrt[3]{\left(x-y\right)\left(3y+2\right).\dfrac{216}{\left(x-y\right)\left(3y+2\right)}}\ge3\sqrt[3]{6^3}\ge18\)

\(\Rightarrow x-y+3y+2+\dfrac{216}{\left(x-y\right)\left(3y+2\right)}-2\ge18-2\ge16\)

\(\Rightarrow A\ge16\left(dpcm\right)\) \(dấu"="\) \(xảy\) \(ra\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{22}{3}\\y=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)

Bình luận (0)
Phạm Kim Oanh
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Minh
28 tháng 10 2021 lúc 11:14

Áp dụng BĐT cosi dạng \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\cdot\dfrac{1}{4}\ge\dfrac{4}{a+b}\cdot\dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{2a+b+c}=\dfrac{a}{a+b+a+c}\le\dfrac{a}{4}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)\)

Cmtt \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{a+2b+c}\le\dfrac{b}{4}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}\right)\\\dfrac{c}{a+b+2c}\le\dfrac{c}{4}\left(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}\right)\end{matrix}\right.\)

Cộng VTV 3 BĐT trên:

\(\Leftrightarrow VT\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{c}{b+c}\right)\\ \Leftrightarrow VT\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{a+c}{a+c}\right)=\dfrac{1}{4}\cdot3=\dfrac{3}{4}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c\)

Bình luận (1)
Phạm Kim Oanh
Xem chi tiết
Akai Haruma
28 tháng 10 2021 lúc 17:27

Lời giải:
\(2P=a^3(\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a})+b^3(\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1+b})+c^3(\frac{1}{1-c}+\frac{1}{c+1})\)

\(=\sum \frac{a^3}{1-a}+\sum \frac{a^3}{1+a}=\sum \frac{a^3}{b+c}+\sum \frac{a^3}{2a+b+c}\)

\(=\sum \frac{a^4}{ab+ac}+\sum \frac{a^4}{2a^2+ab+ac}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab+bc+ac)}+\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac)}\) (theo BĐT Cauchy-Schwarz)

\(\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}+\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{4(a^2+b^2+c^2)}=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)\) (theo BĐT AM-GM)

\(\geq \frac{3}{4}.\frac{1}{3}(a+b+c)^2=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow P\geq \frac{1}{8}\)

Vậy $P_{\min}=\frac{1}{8}$ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Bình luận (0)
Minh Phạm Đức
Xem chi tiết