§1. Bất đẳng thức

Với x=0 ta có:

0=-4.f(0)

=>f(0)=0

=>0 là 1 nghiệm của f(x)(1)

Với x=4 ta có:

4.f(4-2)=0

<=>4.f(2)=0

<=>f(2)=0

=>2 là 1 nghiệm của f(x)(2)

Từ 1 và 2 =>f(x) luôn có 2 nghiệm là 0 và 2 hay f(x) có ít nhất 2 nghiệm

\(-1\le a,b,c\le4\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+1\right)\left(a-4\right)\le0\\\left(b+1\right)\left(b-4\right)\le0\\\left(c+1\right)\left(c-4\right)\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\le3a+4\\b^2\le3b+4\\c^2\le3c+4\end{matrix}\right.\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}a^2\le3a+4\\2b^2\le6b+8\\3c^2\le9c+12\end{matrix}\right.\)

Cộng vế theo vế \(\Rightarrow a^2+2b^2+3c^2\le3\left(a+2b+3c\right)+24\)

Thay \(a+2b+3c\le4\)

\(\Rightarrow a^2+2b^2+3c^2\le3.4+24=36\) (đpcm)

1) x-\(\sqrt{2x-5}\)=4

ĐK: \(\left\{{}\begin{matrix}2x-5\ge0\\x\ge4\end{matrix}\right.\)=> x\(\ge\)4

x-\(\sqrt{2x-5}\)=4<=> x-4=\(\sqrt{2x-5}\)

bình phương hai vế:

\(x^2-8x+16\) =2x-5

<=>\(x^2\) -10x+21=0 <=>\(\left[{}\begin{matrix}x=7\left(nhận\right)\\x=3\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

2) \(2x^2-3-5\sqrt{2x^2+3}=0\)(*)

ĐK:\(2x^2-3>0\Leftrightarrow x^2>\dfrac{3}{2}\)

<=>\(\left[{}\begin{matrix}x>\sqrt{\dfrac{3}{2}}\\x< -\sqrt{\dfrac{3}{2}}\end{matrix}\right.\)

(*)<=>

cau 2 là bằng 0 ko phải bằng 5 nha

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(M=4x^2-3x+\dfrac{1}{4x}+2011\)

\(=\left(4x^2-4x+1\right)+\left(x+\dfrac{1}{4x}\right)+2010\)

= \(\left(2x-1\right)^2+\left(x+\dfrac{1}{4x}\right)+2010\)

\(\ge0+2\sqrt{x.\dfrac{1}{4x}}+2010\) = \(1+2010=2011\)

=> Dấu = xảy ra <=> \(2x=1\) => \(x=\dfrac{1}{2}\)

Vậy ........................................

Nhìn người hỏi là biết bài này khó rồi. Không liên quan nhưng anh Thắng đẹp zai làm giúp em bài này :)) https://hoc24.vn/hỏi-đáp/question/592811.html

1) \(\sqrt{x}\ge0\Rightarrow\sqrt{x}+1\ge1\)

Vậy: Min_A là 1 khi x=0

2) \(\sqrt{x}\ge0\Rightarrow\sqrt{x}+3\ge3\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x}+3}\le\dfrac{1}{3}\)

Max_B là \(\dfrac{1}{3}\) khi x=0

\(\dfrac{a+b}{2}và\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\)

biến đổi vế trái : \(\dfrac{a+b}{2}\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)(1)

biến đổi vế phải : \(\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2-2ab}{2}\)(2)

từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)dpcm

theo bđt cosi ta có

\(a^2+b^2\ge2ab\)\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+2ab+b^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\ge\dfrac{a+b}{2}\)

\(\Rightarrow dpcm\)

a)

ta có:I là giao điểm hai đường phân giác =>I là tâm dường tròn nội tiếp tam giác ABC

=>ID,IE là bán kính đường tròn và AB,AC là các tiếp tuyến của đường tròn

ta xét tứ giác ADIE có góc A=E=D=90=>ADIE là hình chữ nhật có DI=IE=>ADIE là hình vuông=>AD=AE

b)đặt AD=x;ta có hệ :\(\left\{{}\begin{matrix}x+BD=6CM\\x+EC=8CM\\BD+EC=BC=10CM\end{matrix}\right.\)

=>2x=14CM-10CM=4CM<=>x=AD=2CM