§1. Bất đẳng thức

Lightning Farron
Xem chi tiết
Eren
16 tháng 4 2018 lúc 18:49

Nhìn người hỏi là biết bài này khó rồi. Không liên quan nhưng anh Thắng đẹp zai làm giúp em bài này :)) https://hoc24.vn/hỏi-đáp/question/592811.html

Bình luận (0)
Trần Ngọc Minh Khoa
Xem chi tiết
Neet
4 tháng 3 2018 lúc 22:40

\(BDT\Leftrightarrow\sum\left[\dfrac{\left(a+b\right)^2}{c^2+ab}-2\right]\ge0\)\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{a^2+b^2-2c^2}{c^2+ab}\ge0\)(*)

\(\Leftrightarrow\sum\left(\dfrac{a^2-c^2}{c^2+ab}+\dfrac{b^2-c^2}{c^2+ab}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sum\left(c^2-a^2\right)\left(\dfrac{1}{a^2+bc}-\dfrac{1}{c^2+ab}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sum\left(c-a\right)^2.\dfrac{\left(c+a\right)\left(c+a-b\right)}{\left(a^2+bc\right)\left(c^2+ab\right)}\ge0\)

Bình luận (0)
Nguyễn Xuân Tiến 24
3 tháng 3 2018 lúc 21:42

\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{c^2+ab}+\dfrac{\left(b+c\right)^2}{a^2+bc}+\dfrac{\left(c+a\right)^2}{b^2+ca}\ge\dfrac{\left(a+b+b+c+c+a\right)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}\)\(=\dfrac{4\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}\) (theo AM-GM với a ; b>0)

\(=\dfrac{4\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}=\dfrac{4.3.\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2.\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)(do \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\))

\(=4.1,5\) = 6 ( do a;b;c>0)

Bình luận (2)
Đồng Văn Hoàng
Xem chi tiết
Hung nguyen
25 tháng 10 2017 lúc 9:09

\(P=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{c^2}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{97}{4}}P=\sqrt{4+\dfrac{81}{4}}\sqrt{a^2+\dfrac{1}{a^2}}+\sqrt{4+\dfrac{81}{4}}\sqrt{b^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{4+\dfrac{81}{4}}\sqrt{c^2+\dfrac{1}{c^2}}\)

\(\ge\left(2a+\dfrac{9}{2a}\right)+\left(2b+\dfrac{9}{2b}\right)+\left(2c+\dfrac{9}{2c}\right)\)

\(=2\left(a+b+c\right)+\dfrac{9}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)

\(\ge4+\dfrac{9}{2}.\dfrac{9}{a+b+c}=4+\dfrac{81}{4}=\dfrac{97}{4}\)

\(\Rightarrow P\ge\sqrt{\dfrac{97}{4}}\)

PS: Lần sau chép đề cẩn thận nhé bạn.

Bình luận (2)
Feed Là Quyền Công Dân
25 tháng 10 2017 lúc 20:45

Nếu là \(\ge \) thì easy rồi. Áp dụng BĐT Min....

\(VT=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{c^2}}\)

\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{9}{a+b+c}\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{2^2+\left(\dfrac{9}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{97}{4}}=VP\)

Khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)

Bình luận (0)
Eren
Xem chi tiết
Lightning Farron
25 tháng 9 2017 lúc 23:08

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(VT=\dfrac{a}{b+2c+3d}+\dfrac{b}{c+2d+3a}+\dfrac{c}{d+2a+3b}+\dfrac{d}{a+2b+3c}\)

\(=\dfrac{a^2}{ab+2ac+3ad}+\dfrac{b^2}{bc+2bd+3ab}+\dfrac{c^2}{cd+2ac+3bc}+\dfrac{d^2}{ad+2bd+3cd}\)

\(\ge\dfrac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4\left(ab+ad+bc+bd+ca+cd\right)}\ge\dfrac{\left(a+b+c+d\right)^2}{\dfrac{3}{2}\left(a+b+c+d\right)^2}=\dfrac{2}{3}\)

*Chứng minh \(4\left(ab+ad+bc+bd+ca+cd\right)\le\dfrac{3}{2}\left(a+b+c+d\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-d\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(b-d\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(c-d\right)^2\ge0\)

Bình luận (1)
Lightning Farron
Xem chi tiết
Akai Haruma
18 tháng 11 2017 lúc 1:07

Bài này rất dài dòng nhưng cũng rất quen.

https://diendantoanhoc.net/topic/153766-bổ-đề-hoán-vị/

Bình luận (2)
Lightning Farron
20 tháng 11 2017 lúc 0:52

Bích Ngọc Huỳnh & erone - anotherway

Ta sẽ tìm hàm số \(f\left(q\right)\) sao cho
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge f(q) \forall a,b,c>0.\)

\(\Leftrightarrow \sum \dfrac{a}{b}+\sum \dfrac{b}{a}\ge 2f(q)+\sum \dfrac{b}{a}-\sum \dfrac{a}{b} \)

Or \(\sum ab(a+b)-2abc\cdot f(q)\ge (a-b)(b-c)(c-a)\)

Need to pro \(\sum ab(a+b)-2abc\cdot f(q)\ge \sqrt{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}.\)

Đặt \(p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc\)

\((pq-3r)-2f(q)\cdot r \ge \sqrt{p^2q^2+18pqr-27r^2-4q^3-4p^3r}\)

\(p=1 \) have; \((q-3r)-2f(q)\cdot r \ge \sqrt{q^2+18qr-27r^2-4q^3-4r}\)

\(\Leftrightarrow\)\((27+k^2)r^2+2(2-kq-9q)r+4q^3 \ge 0\)

\(\Delta_r ‘=(2-kq-9q)^2-4q^3(27+k^2) \)

\(=q^2(1-4q)k^2+2q(9q-2)k+(9q-2)^2-108q^3\)

Cho\(\Delta_r ‘=0 \) tìm dc \(k=\dfrac{2-9q\pm 4\sqrt{q(1-3q)^3}}{q(1-4q)}.\)

Ta chọn \(k=\dfrac{2-9q+ 4\sqrt{q(1-3q)^3}}{q(1-4q)}\). do đó \(f(q)=\dfrac{k-3}{2}=\dfrac{1-6q+6q^2+ 2\sqrt{q(1-3q)^3}}{q(1-4q)}\)

Suy ra

\( 1-6q+6q^2+ 2\sqrt{q(1-3q)^3}=\left[2\sqrt{q(1-3q)^3}-2(9q^2-2q)\right]+(24q^2-10q+1)\\ \)

\(=2\cdot \dfrac{q(1-3q)^3-(9q^2-2q)^2}{\sqrt{q(1-3q)^3}+2(9q^2-2q)}+(4q-1)(6q-1)\\ \)

\(=2\cdot \dfrac{q(1-4q)(27q^2-9q+1)}{\sqrt{q(1-3q)^3}+2(9q^2-2q)}+(4q-1)(6q-1)\)

Vậy \(f(q)=\dfrac{2(27q^2-9q+1)}{\sqrt{q(1-3q)^3}+2(9q^2-2q)}+\dfrac{1-6q}{q}\)

Bình luận (1)
Tùng Sơn
Xem chi tiết
Nguyễn Huy Thắng
9 tháng 11 2017 lúc 17:10

pick and lock

Bình luận (0)
Lightning Farron
9 tháng 11 2017 lúc 18:08

Ta có: \(A=2\left(x^3+y^3\right)-3xy=2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-3xy\)

Lại có: \(x^2+y^2=2\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy=2\Leftrightarrow xy=\dfrac{\left(x+y\right)^2-2}{2}\)

\(\Rightarrow A=2\left(x+y\right)\left(2-\dfrac{\left(x+y\right)^2-2}{2}\right)-\dfrac{3\left(x+y\right)^2-2}{2}\)

Đặt \(t=x+y\Rightarrow\left|t\right|\le2\)\(A=-t^3-\dfrac{3}{2}t^2+6t+3\forall\left|t\right|\le2\)

\(\Rightarrow g'\left(t\right)=-3t^2-3t+6\)

\(g'\left(t\right)=0\Rightarrow-3t^2-3t+6=0\)

\(\Rightarrow\left(t-1\right)\left(t+2\right)=0\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=-2\end{matrix}\right.\)\(t\in\left[-2;2\right]\)

\(g\left(-2\right)=-7;g\left(2\right)=1;g\left(1\right)=\dfrac{13}{2}\)

Nhìn vào các số trên rõ ràng là \(A_{MAX}=\dfrac{13}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{1\pm\sqrt{3}}{2};y=\dfrac{1\mp\sqrt{3}}{2}\)

\(A_{Min}=-7\Leftrightarrow x=y=-1\)

Bình luận (2)
Hà Nam Phan Đình
9 tháng 11 2017 lúc 18:48

GTLN:
áp dụng BĐT Cauchy-Swarch: \(\left(x^2+y^2\right)\left(1^2+1^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\le4\Rightarrow-2\le x+y\le2\)

ta có: \(A=2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-3xy=2\left(x+y\right)\left(2-xy\right)-3xy\)

\(x+y\le2\Rightarrow A\le4\left(2-xy\right)-3xy=8-7xy\)

\(x^2+y^2=2\Rightarrow\left(x+y\right)^2-2=2xy\Rightarrow\dfrac{7}{2}\left(x+y\right)^2-7=7xy\)

\(\Rightarrow-\dfrac{7}{2}\left(x+y\right)^2+7+8=8-7xy\)

\(\Rightarrow-\dfrac{7}{2}\left(x+y\right)^2+15=8-7xy\)

\(\Rightarrow A\le15-\dfrac{7}{2}\left(x+y\right)^2\le15\)

\(\Rightarrow MaxA=15\) khi \(\left[{}\begin{matrix}x=1;y=-1\\x=-1;y=1\end{matrix}\right.\)

Bình luận (1)
Gió
Xem chi tiết
Serena chuchoe
8 tháng 8 2017 lúc 22:46

Có: \(x^2-xy+y^2\ge xy\)

\(\Rightarrow x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+1\ge xy\left(x+y\right)+xyz\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{x^3+y^3+1}\le\dfrac{1}{xy\left(x+y+z\right)}\)

Dấu ''='' xảy ra <=> x = y

Tượng tự có:

\(\dfrac{1}{y^3+z^3+1}\le\dfrac{1}{yz\left(x+y+z\right)}\)

dấu = xảy ra <=> y = z

\(\dfrac{1}{z^3+x^3+1}\le\dfrac{1}{zx\left(x+y+z\right)}\)

dấu ''='' xảy ra <=> z = x

\(\Rightarrow P\le\dfrac{x+y+z}{xyz\left(x+y+z\right)}=1\)

xảy ra khi x = y = z = 1

Bình luận (0)
Lightning Farron
Xem chi tiết
Hung nguyen
15 tháng 10 2017 lúc 7:22

Giải hộ có quà không bác. Để t còn biết mà nghĩ nữa. Thấy cái này là hàng khủng mà. Nên cũng lười nghĩ :3

Bình luận (4)
Hung nguyen
15 tháng 10 2017 lúc 19:45

Để mai tui chép lên cho xem

Bình luận (0)
TFBoys
Xem chi tiết
Akai Haruma
10 tháng 10 2017 lúc 0:39

Từng sau nếu tag bạn tag tên dưới câu trả lời nhé, tag thế này không nhận được thông báo đâu .

Bài này tốn sức quá, đau đầu khocroi

Lời giải:

Sử dụng \(\sum\) biểu hiện tổng các hoán vị nhé.

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\text{VT}=\frac{a^2}{a\sqrt{(b+2)(c+2)}}+\frac{b^2}{b\sqrt{(c+2)(a+2)}}+\frac{c^2}{c\sqrt{(a+2)(b+2)}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum a\sqrt{(b+2)(c+2)}}\)

Tiếp tục Cauchy-Schwarz:

\((\sum a\sqrt{(b+2)(c+2)})^2\leq (ab+2a+bc+2b+ac+2c)(ac+2a+ba+2b+bc+2c)\)

\(\Leftrightarrow \sum a\sqrt{(b+2)(c+2)}\leq (ab+bc+ac+2a+2b+2c)\)

\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac+2(a+b+c)}\)

Ta sẽ đi chứng minh \(\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac+2(a+b+c)}\geq 1\Leftrightarrow (a+b+c)^2\geq ab+bc+ac+2(a+b+c)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\geq 2(a+b+c)\)

\(\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)^2\geq 4(a+b+c)\)

\(\Leftrightarrow 4-abc+(a+b+c)^2\geq 4(a+b+c)\Leftrightarrow (a+b+c-2)^2\geq abc\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\geq \sqrt{abc}+2\)

Do \(a^2+b^2+c^2+abc=4\Rightarrow \)

tồn tại $x,y,z>0$ sao cho:\((a,b,c)=\left ( 2\sqrt{\frac{xy}{(z+x)(z+y)}};2\sqrt{\frac{yz}{(x+y)(x+z)}};2\sqrt{\frac{xz}{(y+x)(y+z)}} \right )\)

Khi đó , thực hiện vài bước rút gọn, BĐT cần chứng minh chuyển về:

\(\sum \sqrt{xy(x+y)}\geq \sqrt{2xyz}+\sqrt{(x+y)(y+z)(x+z)}\)

Bình phương hai vế:

\(\Leftrightarrow \sum xy(x+y)+2\sqrt{xy^2z(x+y)(y+z)}\geq 2xyz+\prod (x+y)+2\sqrt{2xyz(x+y)(y+z)(x+z)}\)

\(\Leftrightarrow \sum\sqrt{xy^2z(x+y)(y+z)}\geq 2xyz+\sqrt{2xyz(x+y)(y+z)(x+z)}\)

\(\Leftrightarrow \sum \sqrt{y(y+x)(y+z)}\geq 2\sqrt{xyz}+\sqrt{2(x+y)(y+z)(x+z)}\) \((\star)\)

Đặt biểu thức vế trái là $A$

\(A^2=\sum y(y+x)(y+z)+2\sum\sqrt{[y(y+x)(y+z)][x(x+y)(x+z)]}\)

\(A^2=\sum x^3+\sum xy(x+y)+3xyz+2\sum \sqrt{[(x^2(x+y+z)+xyz][y^2(x+y+z)+xyz]}\)

Áp dụng BĐT C-S : \([x^2(x+y+z)+xyz][y^2(x+y+z)+xyz]\geq [xy(x+y+z)+xyz]^2\)

\(\Rightarrow A^2\geq \sum x^3+\sum xy(x+y)+3xyz+2\sum [xy(x+y+z)+xyz]\)

\(\Leftrightarrow A^2\geq \sum x^3+3\sum xy(x+y)+15xyz\)

Theo BĐT Schur: \(\sum x^3+3xyz\geq \sum xy(x+y)\)

\(\Rightarrow A^2\geq 4\sum xy(x+y)+12xyz=4[\sum xy(x+y)+3xyz]=4(x+y+z)(xy+yz+xz)\)

\(\Leftrightarrow A\geq 2\sqrt{(x+y+z)(xy+yz+xz)}\)

Ta cần chứng minh \(2\sqrt{(x+y+z)(xy+yz+xz)}\geq 2\sqrt{xyz}+\sqrt{2(x+y)(y+z)(x+z)}\) (1)

Đặt \(\sqrt{(x+y+z)(xy+yz+xz)}=t\), bằng AM-GM dễ thấy \(t^2\geq 9xyz\)

\((1)\Leftrightarrow 2t\geq 2\sqrt{xyz}+\sqrt{2(t^2-xyz)}\)

\(\Leftrightarrow 4t^2\geq 4xyz+2(t^2-xyz)+4\sqrt{2xyz(t^2-xyz)}\)

\(\Leftrightarrow t^2\geq xyz+2\sqrt{2xyz(t^2-xyz)}\) (2)

Áp dụng AM-GM: \(2\sqrt{xyz(t^2-xyz)}=\sqrt{8xyz(t^2-xyz)}\leq \frac{8xyz+t^2-xyz}{2}=\frac{7}{2}xyz+\frac{t^2}{2}\)

Và \(xyz\leq \frac{t^2}{9}\)

\(\Rightarrow xyz+2\sqrt{2xyz(t^2-xyz)}\leq t^2\)

Do đó (2) đúng kéo theo (1) đúng kéo theo (*) đúng nên ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

Bình luận (3)
Eren
Xem chi tiết
Akai Haruma
29 tháng 9 2017 lúc 0:04

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\((a+b+1)(a+b+c^2)\geq (a+b+c)^2\Rightarrow a+b+1\geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c^2}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{a+b+1}\leq \frac{a+b+c^2}{(a+b+c)^2}\)

Tương tự cho các phân thức còn lại, suy ra:

\(1\leq \frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{a+c+1}\leq \frac{a+b+c^2}{(a+b+c)^2}+\frac{b+c+a^2}{(a+b+c)^2}+\frac{c+a+b^2}{(a+b+c)^2}\)

\(\Leftrightarrow 1\leq \frac{2(a+b+c)+a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}\)

\(\Leftrightarrow (a+b+c)^2\leq 2(a+b+c)+a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ac\leq a+b+c\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

Bình luận (0)