Cho p,q ≥ 0 ; p+q=1. Chứng minh rằng:
(1-pn)m + (1-pm)n ≥ 1 (m,n ∈ N)
§1. Bất đẳng thức
với mọi x,y,z >0 CMR: \(\dfrac{1+\sqrt{x}}{y+z}+\dfrac{1+\sqrt{y}}{z+x}+\dfrac{1+\sqrt{z}}{x+y}\ge\dfrac{9+3\sqrt{3}}{2}\)
Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2>=1\) CMR:
\(\dfrac{x^3}{y}+\dfrac{y^3}{z}+\dfrac{z^3}{x}>=1\)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn \(a\ge b\ge c\). Chứng minh : \(2\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}\right)-\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\ge3\)
Chứng minh rằng với mọi x, y, z >0, ta có:
√(x2 + xy + y2) + √(y2 + yz + z2) + √(z2 + zx + x2) ≥ √3(x + y + z)
Cho a,b,c thuộc \(\left[1;2\right]\). Chứng minh \(a^3+b^3+c^3\le5abc\)
Ta có: \(\left(a-1\right)\left(a-2\right)\left(a+3\right)\le0\Leftrightarrow a^3\le7a-6\)
tương tự rồi cộng lại: \(VT\le7\left(a+b+c\right)-18\)
Ta chứng minh \(5abc-7\left(a+b+c\right)+18\ge0\)(*) .Giả sử a=max{a,b,c}
Có:\(\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0\Rightarrow abc\ge ab+ac-a\)
\(VT\ge5\left(ab+ac-a\right)-7\left(a+b+c\right)+18=\left(b+c\right)\left(5a-7\right)+\left(18-12a\right)\)
*) nếu \(a\in\left[\dfrac{7}{5},2\right]\)\(\Rightarrow VT\ge2\left(5a-7\right)+\left(18-12a\right)=2\left(2-a\right)\ge0\)
*) Nếu \(a\in\left[1,\dfrac{7}{5}\right]\)\(\Rightarrow b+c\le2a\le\dfrac{14}{5}\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{14}{5}\left(5a-7\right)+\left(18-12a\right)=2\left(a-\dfrac{4}{5}\right)>0\)
Vậy BĐT được chứng minh. Dấu = xảy ra khi (a,b,c)=(2;1;1) và các hoán vị
Đúng 0
Bình luận (0)
Tìm Min
P=\(\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{a^2}}\)
điều kiện xác định : \(x;y\ne0\)
áp dụng bất đẳng thức mincopski kết hợp cô si ta có :
\(P=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{a^2}}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{4ab+\dfrac{4}{ab}}\ge\sqrt{2\sqrt{16}}=2\sqrt{2}\)
dâu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Chao a, b, c >0
CMR \(\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}\right)\ge\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}+\dfrac{a+b}{c}\right)\)
Cho các số dương x,y thỏa mãn x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất:
P= (\(x^2+\dfrac{1}{y^2}\)) ( \(y^2+\dfrac{1}{x^2}\))
Lời giải:
Khai triển \(P=x^2y^2+1+1+\frac{1}{x^2y^2}=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}\geq 2\sqrt{\frac{1}{256}}=\frac{1}{8}\)
\(1=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}\Rightarrow x^2y^2\leq \frac{1}{16}\Rightarrow \frac{255}{256x^2y^2}\geq \frac{255}{16}\)
Cộng theo vế các BĐT trên:
\(\Rightarrow x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}\geq \frac{257}{16}\)
\(\Rightarrow P=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2\geq \frac{289}{16}=P_{\min}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Đúng 2
Bình luận (0)
CM bất đẳng thức sau
\(\sqrt[3]{4\left(a^3+b^3\right)}+\sqrt[3]{4\left(b^3+c^3\right)}\sqrt[3]{4\left(c^3+a^3\right)}\ge2\left(a+b+c\right)\) với \(a,b,c\ge0\)