§1. Bất đẳng thức

TH1: \(x\le-2\)

\(pt\Leftrightarrow-x-1-x-2-2x+1=3\)

\(\Leftrightarrow0x=5\)

\(\Rightarrow\) vô nghiệm

TH2: \(-2< x\le-1\)

\(pt\Leftrightarrow-x-1+x+2-2x+1=3\)

\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}\left(l\right)\)

TH3: \(-1< x\le\dfrac{1}{2}\)

\(pt\Leftrightarrow x+1+x+2-2x+1=3\)

\(\Leftrightarrow0x=-1\)

\(\Rightarrow\) vô nghiệm

TH4: \(x>\dfrac{1}{2}\)

\(pt\Leftrightarrow x+1+x+2+2x-1=3\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4}\left(l\right)\)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Hình như thiếu điều kiện \(a,b,c>0\)

Áp dụng BĐT Cosi:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\)

\(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{\sqrt{bc}}\)

\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{2}{\sqrt{ca}}\)

Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được: 

\(2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge2\left(\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ca}}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ca}}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

Đặt \(t=\dfrac{a^2+9}{a}\ge6\).

Ta có: \(P=7t+\dfrac{1}{t}=\left(7t+\dfrac{252}{t}\right)-\dfrac{251}{t}\ge_{AM-GM}2\sqrt{7.252}-\dfrac{251}{6}=84-\dfrac{251}{6}=\dfrac{253}{6}\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 6 \(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+9}{a}=6\Leftrightarrow\left(a-3\right)^2=0\Leftrightarrow a=3\).

Vậy..

\(P=\dfrac{a^2+9}{36a}+\dfrac{a}{a^2+9}+\dfrac{251}{36}\left(\dfrac{a^2+9}{a}\right)\)

\(P\ge2\sqrt{\dfrac{\left(a^2+9\right).a}{36a\left(a^2+9\right)}}+\dfrac{251}{36}.\dfrac{2\sqrt{9a^2}}{a}=\dfrac{253}{6}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=3\)

Ta có \(xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\).

Do đó ta có: \(x+y+xy=x+y-2xy+3xy\le x+y-2xy+\dfrac{3}{4}\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\le x+y-2xy+\dfrac{3}{4}\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)-1\right]\le0\)

\(\Leftrightarrow0\le x+y\le4\).

Do đó m = 0, n = 4.

Vậy m² + n² = 16. Chọn A.

Áp dụng BĐT \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)

\(\dfrac{a^3+b^3}{ab}+\dfrac{b^3+c^3}{bc}+\dfrac{c^3+a^3}{ac}\ge\dfrac{ab\left(a+b\right)}{ab}+\dfrac{bc\left(b+c\right)}{bc}+\dfrac{ca\left(c+a\right)}{ca}\)

\(=a+b+b+c+c+a=2\left(a+b+c\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

Chứng minh BĐT: \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)

Áp dụng BĐT \(a^2+b^2\ge2ab\)

\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\)

\(\ge\left(x+y\right)\left(2xy-xy\right)=xy\left(x+y\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y\)

\(f\left(x\right)=\dfrac{4}{x}+\dfrac{x-1+1}{1-x}=\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{1-x}-1\)

\(f\left(x\right)\ge\dfrac{\left(2+1\right)^2}{x+1-x}-1=8\)

\(f\left(x\right)_{min}=8\) khi \(x=\dfrac{2}{3}\)

\(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\le\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}\)

\(\Leftrightarrow ab+cd+2\sqrt{abcd}\le ab+bc+cd+da\)

\(\Leftrightarrow bc+da\ge2\sqrt{abcd}\)

\(\Leftrightarrow bc+da-2\sqrt{abcd}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{bc}-\sqrt{da}\right)^2\ge0\) đúng \(\forall a,b,c,d>0\)

Biểu thức này ko tồn tại GTNN

Muốn có GTNN thì cần thêm điều kiện của biến x, ví dụ  \(x\ge0\) gì đó

uh cứ coi là như vậy đi ạ. Bn giải giùm mk đi ạ

\(VT=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}\right)^2\)

\(VT\ge\dfrac{1}{2}\left(x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(x+y+\dfrac{4}{x+y}\right)^2=\dfrac{25}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

\(f\left(a\right)=\dfrac{a^2+8}{\sqrt{a^2+4}}=\dfrac{a^2+4}{\sqrt{a^2+4}}+\dfrac{4}{\sqrt{a^2+4}}=\sqrt{a^2+4}+\dfrac{4}{\sqrt{a^2+4}}\)

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(f\left(a\right)=\sqrt{a^2+4}+\dfrac{4}{\sqrt{a^2+4}}\ge4\)

\(minf\left(a\right)=4\Leftrightarrow a=0\)