\(\sqrt[4]{1-x^2+\sqrt[4]{1-x}+\sqrt[4]{1+x}=3}\)
\(\sqrt[4]{1-x^2+\sqrt[4]{1-x}+\sqrt[4]{1+x}=3}\)
Chắc đề là: \(\sqrt[4]{1-x^2}+\sqrt[4]{1-x}+\sqrt[4]{1+x}=3\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt[4]{1-x}=a\ge0\\\sqrt[4]{1+x}=b\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^4+b^4=2\)
Pt trở thành: \(a+b+ab=3\)
Ta có: \(4=a^4+b^4+2\ge2a^2b^2+2\ge4ab\Rightarrow ab\le1\)
\(8=\left(a^4+1+1+1\right)+\left(b^4+1+1+1\right)\ge4a+4b\Rightarrow a+b\le2\)
\(\Rightarrow a+b+ab\le3\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt[4]{1-x}=\sqrt[4]{1+x}\Leftrightarrow x=0\)
\(\sqrt{y-1}+\sqrt{x}+\sqrt{z-2}=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)
ĐKXĐ: ...
\(2\sqrt{y-1}+2\sqrt{x}+2\sqrt{z-2}=x+y+z\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\sqrt{x}+1\right)+\left(y-1-2\sqrt{y-1}+1\right)+\left(z-2-2\sqrt{z-2}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-2}-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}-1=0\\\sqrt{y-1}-1=0\\\sqrt{z-2}-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\\z=3\end{matrix}\right.\)
Giải theo BĐT:
\(VT=1.\sqrt{y-1}+1.\sqrt{x}+1.\sqrt{z-2}\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{2}\left(1+y-1\right)+\dfrac{1}{2}\left(1+x\right)+\dfrac{1}{2}\left(1+z-2\right)\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow VT\le VP\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}1=\sqrt{y-1}\\1=\sqrt{x}\\1=\sqrt{z-2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\\z=3\end{matrix}\right.\)
\(\dfrac{1}{a^2+2bc}+\dfrac{1}{b^2+2ac}+\dfrac{1}{c^2+2ab}\ge9\)
Chắc chắn là đề bài thiếu rồi
1. Thiếu điều kiện liên quan a;b;c (là số dương hay số gì)
2. Thiếu mối liên hệ giữa a;b;c (a;b;c bất kì thì BĐT này hiển nhiên sai)
Áp dụng bđt AM - GM:
\(x^3+1+1\ge3x;y^3+1+1\ge3y;z^3+1+1\ge3z;2x+2y+2z\ge6\sqrt[3]{xyz}=6\).
Cộng vế với vế các bđt trên rồi rút gọn ta có đpcm.
Áp dụng BĐT Cosi:
\(\left(x^3+1+1\right)+\left(y^3+1+1\right)+\left(z^3+1+1\right)\)
\(\ge3\left(x+y+z\right)\)
\(\ge x+y+z+2.3\sqrt[3]{xyz}\)
\(=x+y+z+6\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3\ge x+y+z\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn \(ac\ge12,bc\ge8\). Tìm giá trị nhỏ nhất (nếu có) của biểu thức:
\(D=a+b+c+2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)+\dfrac{8}{abc}\)
Dự đoán điểm rơi xảy ra tại \(\left(a;b;c\right)=\left(3;2;4\right)\)
Đơn giản là kiên nhẫn tính toán và tách biểu thức:
\(D=13\left(\dfrac{a}{18}+\dfrac{c}{24}\right)+13\left(\dfrac{b}{24}+\dfrac{c}{48}\right)+\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{6}+\dfrac{2}{ab}\right)+\left(\dfrac{a}{18}+\dfrac{c}{24}+\dfrac{2}{ac}\right)+\left(\dfrac{b}{8}+\dfrac{c}{16}+\dfrac{2}{bc}\right)+\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{6}+\dfrac{c}{12}+\dfrac{8}{abc}\right)\)
Sau đó Cô-si cho từng ngoặc là được
Cho a,b>0 t/m a+b \(\le\) 1
Tìm GTNN \(\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{2}{ab}+4ab\)
Áp dụng BĐT BSC và Cosi:
\(\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{2}{ab}+4ab=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{4ab}+4ab+\dfrac{5}{4ab}\)
\(\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}+2\sqrt{\dfrac{1}{4ab}.4ab}+\dfrac{5}{\left(a+b\right)^2}\)
\(=\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+2+\dfrac{5}{\left(a+b\right)^2}\ge4+2+5=11\)
\(min=11\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{3x-5}{x+7}-\dfrac{3x-3}{x+2}>\)\(\dfrac{3}{x^2+9x+14}\)
f(x)=\((x^2-2x-3)^2\)\(\ge\)\((x^2+3x+3)^2\)
\(\left(x^2-2x-3\right)^2\ge\left(x^2+3x+3\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x-3\right)^2-\left(x^2+3x+3\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(-5x-6\right)\left(2x^2+x\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x\left(-5x-6\right)\left(2x+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-\dfrac{6}{5}\le x\le0\\\left(-\infty;-\dfrac{1}{2}\right)\end{matrix}\right.\)
Tìm GTNN của C = x2 + \(\dfrac{4}{x}\) và D = x + \(\dfrac{4}{x^2}\)
giúp mk vs
\(\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{a+c}{b}+\dfrac{b+c}{a}\ge6\)
\(VT=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}\)
\(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{c}.\dfrac{c}{a}}=2\)
Làm tương tự với các nhóm còn lại rồi cộng với nhau, ta được đpcm