Violympic toán 9

x²-2(m+)x+2m-3=0 tìm m nguyên dương dể phương trình đã cho có 2 ghiện phân biệt x_1;x₂ thỏa mãn \(\dfrac{x_1^2-2x_1-3}{2}\)(x₂-1)+5=m²

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Từ điểm A nằm ngoài nửa đường tròn và cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ BC chứa nửa đường tròn tâm O, vẽ các đường thẳng AB, AC cắt nửa đường tròn lần lượt tại E và F. Gọi H là giao điểm của CE và BF. Gọi D là giao điểm của AH và BC. Kẻ tiếp tuyến AM của đường tròn (O) tại M. Chứng minh: MH vuông góc với AO.

Cho tam giác ABC đều, có AH là đường cao và M là điểm bất kì thuộc đoạn BC. Kẻ MP và MQ lần lượt vuông góc với AB và AC. Gọi O là trung điểm của AM. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, I là giao điểm của PQ và OH. Chứng minh rằng: 3 điểm M, I, G thẳng hàng

Với các số thực không âm a,b thỏa mãn: a+b=1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\sqrt{1+3a}+\sqrt{1+2022b}\)

Cho hai biểu thức: \(A=\dfrac{\sqrt{x}-3}{2\sqrt{x}+6}\) và \(B=\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+2}\) với \(x\ge0;x\ne4;x\ne9\). Với x là số tự nhiên thỏa mãn: x>3, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\dfrac{B}{A}\)

Cho các số thực dương x;y thỏa mãn: \(6x+9-\sqrt{y}.\left(y+1\right)=3y-\left(2x+4\right).\sqrt{2x+3}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(D=xy+3y-4x^2-3\)

Giải phương trình: \(x^2+6x+1-\left(2x+1\right).\sqrt{x^2+2x+3}=0\)

Giải hệ PT \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{y}+2.\dfrac{y}{x}=3\\2x^2-3y=-1\end{matrix}\right.\)

Giải phương trình: \(\sqrt{x^2+x+19}+\sqrt{7x^2-2x+4}+\sqrt{13x^2+19x+7}=\sqrt{3}.\left(x+5\right)\)