Violympic toán 9

1, \(P=\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)+\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)-\left(x-4\sqrt{x}-9\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\dfrac{x+\sqrt{x}-6+x-2\sqrt{x}-3-x+4\sqrt{x}+9}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\dfrac{x+3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\)

2, Để P = 3 thì \(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}=3\Rightarrow3\sqrt{x}-9=\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}-9=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\dfrac{9}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{81}{4}\)(thỏa mãn)

3, \(M=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}:\dfrac{\sqrt{x}+5}{3-\sqrt{x}}=\dfrac{-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5}\)

để \(\left|M\right|< \dfrac{1}{2}\) thì \(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5}< \dfrac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow2\sqrt{x}< \sqrt{x}+5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}< 5\)

\(\Leftrightarrow0\le x< 25\)

Kết hợp ĐK ta có \(\left\{{}\begin{matrix}0\le x< 25\\x\ne9\end{matrix}\right.\)

Bài 2/ Không mất tính tổng quát giả sử: \(xy\ge0\)

\(\Rightarrow x^2+y^4+z^6\le x^2+y^2+z^2\le\left(x+y\right)^2+z^2=2z^2\le2\)

Câu 3/

Dễ thấy n = 20 thì \(20^{20}\) có số lượng số lớn hơn 19 chữ số.

\(\Rightarrow n< 20\)

Xét \(n>2\) ta dễ thấy n phải là lũy thừa của 2 vì giải sử

\(n=\left(2k+1\right).2^a\)

\(\Rightarrow P=\left(n^{2a}\right)^{2a+1}+1=A.\left(n^{2a}+1\right)\)không phải là số nguyên tố.

\(\Rightarrow n=4;8;16\)

Xét \(n=1;2\) nữa là xong

PS: Thôi nghỉ không làm nữa

Với giả sử n không phải là lũy thừa của 2 thì n sẽ là tích của lũy của 2 với 1 số lẻ nên ta giả sử

\(n=\left(2k+1\right).2^a\) ta chứng minh với trường hợp này thì bài toán không thỏa mãn.

Thế vào P ta được

\(P=n^{\left(2k+1\right).2^a}+1=\left(n^{2^a}\right)^{2k+1}+1=\left(n^{2a}+1\right).A\left(n\right)\) (cái này áp dụng hằng đẳng thức: Với x lẻ thì \(y^x+1=\left(y+1\right)\left(y^{x-1}-y^{x-2}+....\right)\)

Ta đễ thấy P ở trường hợp nà là tích của 2 số khác 1 vì n > 2

Từ đây ta loại trường hợp n là số có dạng \(n=\left(2k+1\right).2^a\)

Nên n là lũy thừa của 2 kết hợp với \(2< n< 20\) thì ta chỉ cần kiểm tra với \(n=4;8;16\)sau khi kiểm tra cái này

Ta tiếp tục xét trường hợp \(n=1;2\) nữa là xong.

Lời giải:

\(a,b,c\geq 0\rightarrow 1-a,1-b,1-c\geq 0\)

Áp dụng BĐT Cauchy ngược dấu:
\((1-a)(1-c)\leq \left(\frac{1-a+1-c}{2}\right)^2=\left(\frac{2-a-c}{2}\right)^2=\left(\frac{1+b}{2}\right)^2\) (do $a+b+c=1$)

Do đó:

\(4(1-a)(1-b)(1-c)\leq 4(1-b)\left(\frac{1+b}{2}\right)^2=(1-b)(1+b)^2=(1+b)(1-b^2)\)

Vì \(b^2\geq 0\Rightarrow 1-b^2\leq 1\Rightarrow (1+b)(1-b^2)\leq 1+b=a+b+c+b=a+2b+c\)

Hay \(4(1-a)(1-b)(1-c)\leq a+2b+c\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(0,5; 0; 0,5)\)

Lời giải:

Đặt \((\sqrt{1+x}=a; \sqrt{1-x}=b)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2=2\) và \(a^2-b^2=2x\)

Khi đó:

\(M=\frac{\sqrt{1+ab}(a^3-b^3)}{2+ab}=\frac{\sqrt{1+ab}(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a^2+b^2+ab}\)

\(=\sqrt{1+ab}(a-b)\)

\(=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}+ab}(a-b)=\sqrt{\frac{a^2+b^2+2ab}{2}}(a-b)\)

\(=\sqrt{\frac{(a+b)^2}{2}}(a-b)=\frac{(a+b)(a-b)}{\sqrt{2}}=\frac{a^2-b^2}{\sqrt{2}}=\frac{2x}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}x\)

\(M=\dfrac{\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}\left[\sqrt{\left(1+x\right)^3}-\sqrt{\left(1-x\right)^3}\right]}{2+\sqrt{1-x^2}}\)

\(\Leftrightarrow M=\dfrac{\sqrt{2}.\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}\left[\sqrt{\left(1+x\right)^3}-\sqrt{\left(1-x\right)^3}\right]}{\sqrt{2}.(2+\sqrt{1-x^2})}\)

\(\Leftrightarrow M=\dfrac{\sqrt{2+2\sqrt{1-x^2}}\left[(\sqrt{\left(1+x\right)})^3-(\sqrt{\left(1-x\right)})^3\right]}{\sqrt{2}.(2+\sqrt{1-x^2})}\)

\(\Leftrightarrow M=\dfrac{\sqrt{\left(1-x\right)+2\sqrt{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}+(1+x)}.\left[(\sqrt{1+x})^3-\left(\sqrt{1-x}\right)^3\right]}{\sqrt{2}.(2+\sqrt{1-x^2})}\)

\(\Leftrightarrow M=\dfrac{\sqrt{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})^2}.\left(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\right)\left[\left(\sqrt{1+x}\right)^2+\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}+\left(\sqrt{1-x}^2\right)\right]}{\sqrt{2}.(2+\sqrt{1-x^2})}\)

\(\Leftrightarrow M=\dfrac{\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)\left(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\right)\left[1+x+\sqrt{1-x^2}+1-x\right]}{\sqrt{2}.(2+\sqrt{1-x^2})}\)

\(\Leftrightarrow M=\dfrac{(1+x-1+x)\left[2+\sqrt{1-x^2}\right]}{\sqrt{2}.(2+\sqrt{1-x^2})}\)

\(\Leftrightarrow M=\dfrac{2x}{\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow M=\sqrt{2}x\)

Không đủ cơ sở để $c=d$. Ví dụ cho $a=2; b=1$ thì $c\neq d$

Tham khảo: Câu hỏi của Thành An - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

\(B=x^4-6x^3+11x^2-6x+1\)

\(=x^4-x^3+x^2-5x^3+5x^2-5x+x^2-x+1\)

\(=x^2\left(x^2-x+1\right)-5x\left(x^2-x+1\right)+\left(x^2-x+1\right)\)

\(=\left(x^2-x+1\right)\left(x^2-5x+1\right)\)