cho x,y,z>0 và x+y+z=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của bt S=\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{9}{y}+\dfrac{16}{z}\)
Violympic toán 9
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{x}+\frac{9}{y}+\frac{16}{z}\ge\frac{\left(1+3+4\right)^2}{x+y+z}=64\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{x}=\frac{3}{y}=\frac{4}{z}\\x+y+z=1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{8}\\y=\frac{3}{8}\\z=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Đúng 0
Bình luận (0)
cho x,y là các số dương thỏa mãn\(\dfrac{4}{x}+\dfrac{5}{y}\ge23\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của bt A=\(8x+\dfrac{6}{x}+18y+\dfrac{7}{y}\)
cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+x+y=8\\xy\left(x+1\right)\left(y+1\right)=m\end{matrix}\right.\)
a) giải hệ với m =12
b)xác định m đẻ hệ có nghiệm
cho hệ phương trình:\(\left\{{}\begin{matrix}x+xy+x=m+1\\xy\left(x+y\right)=m\end{matrix}\right.\)
xác định m để hệ có nghiệm thỏa x>0 , y>0
giải hệ phương trình sau:\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(\sqrt{2x+2y}+\sqrt{2x-3y}\right)=3\sqrt{\left(2x+2y\right)\left(2x-3y\right)}\\4x-y=5\end{matrix}\right.\)
giải hệ phương trình sau:
\(\left\{{}\begin{matrix}x\sqrt{y}+y\sqrt{x}=30\\x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=35\end{matrix}\right.\)
Lời giải:
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=30(1)\\
(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y)=35\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow 35\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=30(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y)\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y}))(30x-65\sqrt{xy}+30y)=0\)
Nếu $\sqrt{x}+\sqrt{y}=0$ thì từ $(1)$ suy ra $\sqrt{xy}.0=30$ (vô lý)
Nếu $30x-65\sqrt{xy}+30y=0$
$\Leftrightarrow 6x-13\sqrt{xy}+6y=0$
$\Leftrightarrow (2\sqrt{x}-3\sqrt{y})(3\sqrt{x}-2\sqrt{y})=0$
$\Rightarrow \sqrt{x}=\frac{3}{2}\sqrt{y}$ hoặc $\sqrt{x}=\frac{2}{3}\sqrt{y}$
Thay lần lượt từng TH vào $(1)\Rightarrow (x,y)=(9,4); (4,9)$
Lời giải:
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=30(1)\\
(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y)=35\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow 35\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=30(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y)\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y}))(30x-65\sqrt{xy}+30y)=0\)
Nếu $\sqrt{x}+\sqrt{y}=0$ thì từ $(1)$ suy ra $\sqrt{xy}.0=30$ (vô lý)
Nếu $30x-65\sqrt{xy}+30y=0$
$\Leftrightarrow 6x-13\sqrt{xy}+6y=0$
$\Leftrightarrow (2\sqrt{x}-3\sqrt{y})(3\sqrt{x}-2\sqrt{y})=0$
$\Rightarrow \sqrt{x}=\frac{3}{2}\sqrt{y}$ hoặc $\sqrt{x}=\frac{2}{3}\sqrt{y}$
Thay lần lượt từng TH vào $(1)\Rightarrow (x,y)=(9,4); (4,9)$
Lời giải:
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=30(1)\\
(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y)=35\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow 35\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=30(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y)\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y}))(30x-65\sqrt{xy}+30y)=0\)
Nếu $\sqrt{x}+\sqrt{y}=0$ thì từ $(1)$ suy ra $\sqrt{xy}.0=30$ (vô lý)
Nếu $30x-65\sqrt{xy}+30y=0$
$\Leftrightarrow 6x-13\sqrt{xy}+6y=0$
$\Leftrightarrow (2\sqrt{x}-3\sqrt{y})(3\sqrt{x}-2\sqrt{y})=0$
$\Rightarrow \sqrt{x}=\frac{3}{2}\sqrt{y}$ hoặc $\sqrt{x}=\frac{2}{3}\sqrt{y}$
Thay lần lượt từng TH vào $(1)\Rightarrow (x,y)=(9,4); (4,9)$
Tìm tất cả các sô hữu tỉ x y thỏa mãn √(2√3-3) =√(3x√3)-√(y√3)
cho hình thang ABCD cháy lớn CD . qua A vẽ đường thẳng AK song song với BC . qua B vẽ đường thẳng BI song song với AD . BI cắt AC ở F , AK CẮT BD ở E . chứng minh EF//AB
Cho tam giác nhọn ABC và điểm M trong tam giác đó.Xác định vị trí của điểm M sao cho MA.BC+MB.AC+MC.AB đạt giá trị nhỏ nhất
CMR biểu thức \(N=\sqrt{1+2011^2+\dfrac{2011^2}{2012^2}}+\dfrac{2011}{2012}\) có giá trị là 1 số tự nhiên
Ta có :\(\left(2011+1\right)^2=2011^2+1+2.2011\)
\(\Rightarrow2011^2+1=2012-2.2011\)
\(\Rightarrow N=\sqrt{2012^2-2.2011+\left(\dfrac{2011}{2012}\right)^2}+\dfrac{2011}{2012}\)
\(=\sqrt{\left(2012-\dfrac{2011}{2012}\right)^2}+\dfrac{2011}{2012}\)
\(=2012-\dfrac{2011}{2012}+\dfrac{2011}{2012}\)
\(=2019\)
Vậy N có giá trị là một số tự nhiên.
Đúng 0
Bình luận (0)