Violympic toán 9

Lyy
Xem chi tiết
Akai Haruma
15 tháng 4 2023 lúc 18:14

Lời giải:

PT hoành độ giao điểm:

$2x^2-4x-m=0(*)$

Để 2 đths cắt nhau tại 2 điểm pb thì pt $(*)$ có 2 nghiệm $x_1,x_2$.

Điều này xảy ra khi $\Delta'=(-2)^2+2m>0\Leftrightarrow m> -2$

Áp dụng định lý Viet: 

$x_1+x_2=2$

$x_1x_2=\frac{-m}{2}$

Khi đó: $x_1^2+x_2^2=3$

$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=3$

$\Leftrightarrow 2^2-2.\frac{-m}{2}=3$

$\Leftrightarrow 4+m=3$

$\Leftrightarrow m=-1$ (tm)

Bình luận (1)
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
HT2k02
14 tháng 4 2023 lúc 18:01

1. Ta chọn $x=3k;y=4k;z=5k$ với $k$ là số nguyên dương.

Khi này $x^2+y^2=25k^2 =z^2$. Tức có vô hạn nghiệm $(x;y;z)=(3k;4k;5k)$ với $k$ là số nguyên dương thỏa mãn

Bình luận (0)
HT2k02
14 tháng 4 2023 lúc 18:03

Câu 2:

Chọn $x=y=2k^3; z=2k^2$ với $k$ nguyên dương.

Khi này $x^2+y^2 =8k^6 = z^3$.

Tức tồn tại vô hạn $(x;y;z)=(2k^3;2k^3;2k^2) $ với $k$ nguyên dương là nghiệm phương trình.

Bình luận (1)
Anh dam ngoc
16 tháng 4 2023 lúc 12:31

Câu 2:

Chọn x=y=2k3;z=2k2 với knguyên dương.

Khi này x2+y2=8k6=z3.

Tức tồn tại vô hạn (x;y;z)=(2k3;2k3;2k2) với k nguyên dương là nghiệm phương trình.

Bình luận (0)
Bảo mon
Xem chi tiết
Khiêm Nguyễn doãn
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Phước Thịnh
11 tháng 4 2023 lúc 21:12

a: góc AEH+góc AFH=180 độ

=>AEHF nội tiếp

Tâm I là trung điểm của AH

Bình luận (0)
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết

Nếu bạn Minh biết chữ số hàng đơn vị và bạn Bình không biết chữ số hàng đơn vị thì bạn Bình không thể đảm bảo bạn Minh không biết với trường hợp hàng đơn vị là 7 hoặc 9

=> Bạn Bình biết chữ số hàng đơn vị

Mà bạn Bình chưa xác định được mật khẩu

=> Hàng đơn vị không phải 7 hoặc 9

=> Loại 1119 và 1107

Nếu bạn Bình biết cả hàng chục và hàng đơn vị mà hàng chục và hàng đơn vị của các số không trùng nhau thì bạn Bình sẽ xác định được mật khẩu trước khi bạn Minh nói

=> Bạn Bình không biết hàng chục

=> Bạn Minh biết hàng chục

Hàng chục có 4 TH: 0; 1; 2; 3

Có 3 số có hàng chục là 3 (1134; 1135; 1138); 2 số có hàng chục là 2 (1124; 1126); 2 số có hàng chục là 0 (1105; 1106)

Nếu hàng chục là 0; 2 hoặc 3 thì Minh chưa thể xác định được mật khẩu

=> Hàng chục là 1

Chỉ có 2 số có hàng chục là 1 là 1119 và 1118 mà 1119 đã bị loại

=> Mật khẩu là 1118

Bình luận (1)
Quý Lương
14 tháng 4 2023 lúc 19:28
Giả sử 1 trong 2 chữ số Bình biết có chữ số hàng đơn vị còn Minh thì không. Nếu hàng đơn vị là 7 hoặc 9 thì có thể xác định luôn nhưng ở đây Bình không biết => Bình đã hỏi Minh => loại 1107 và 1119 Nếu Bình hoặc Minh biết cả chữ số hàng chục lẫn hàng đơn vị thì Bình không cần hỏi mà Bình có thể xác định luôn trước khi Minh nói là Minh không biết => Bình không biết hàng chục còn Minh biết hàng chục=> chỉ cần xét 8 số còn lại ( sau khi loại 1107 và 1119), số nào là số mà hàng chục của nó chỉ xuất hiện 1 lần thì mật khẩu là số đó=> đáp án là 1118
Bình luận (0)
Đức Anh Lê
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Phước Thịnh
8 tháng 4 2023 lúc 9:05

Với a,b,c dưog thì \(\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}+\dfrac{z^2}{c}>=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)

\(P>=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{xy+yz+xz+\sqrt{1+x^3}+\sqrt{1+y^3}+\sqrt{1+z^3}}\)

\(\sqrt{1+x^3}=\sqrt{\left(1+x\right)\left(1-x+x^2\right)}< =\dfrac{2+x^2}{2}\)

Dấu = xảy ra khi x=2

=>\(P>=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x^2+y^2+z^2+6}=\dfrac{2\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+6}\)

Đặt t=(x+y+z)^2(t>=36)

=>P>=2t/t-6

Xét hàm số \(f\left(t\right)=\dfrac{t}{t+6}\left(t>=36\right)\)

\(f'\left(t\right)=\dfrac{6}{\left(t+6\right)^2}>=0,\forall t>=36\)

=>f(t) đồng biến

=>f(t)>=f(36)=6/7

=>P>=12/7

Dấu = xảy ra khi x=y=z=2

Bình luận (0)
Đức Anh Lê
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Phước Thịnh
8 tháng 4 2023 lúc 9:09

=>xy^2(xy-x^2-5)=-27

x,y là số nguyên dương thì \(x,y^2\inƯ\left(-27\right)\)

=>\(x,y^2\in\left\{1;3;9;27\right\}\)

y^2=1 thì y=1

y^2=9 thì y=3

Khi y=1 thì x*(x-x^2-5)=-27

=>Loại

Khi y=3 thì 9x(3x-x^2-5)=-27

=>x=1

Bình luận (0)
Lương Đại
5 tháng 4 2023 lúc 21:30

Câu 3b)

Ta luôn có : \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) (*)

Thật vây, (*) \(\Leftrightarrow\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )

Đặt  A =  \(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}=\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}\)

 Áp dụng (*) ta có :  \(A\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+\dfrac{1}{2ab}\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+\dfrac{2}{\left(a+b\right)^2}=4+2=6\left(đpcm\right)\)

Vậy \(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}\ge6\), đạt được \(\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)

 

Bình luận (0)
Lương Đại
5 tháng 4 2023 lúc 21:32

Câu 2c :

\(\left(x^2+x\right)^2+4\left(x^2+x\right)=12\). Đặt \(t=x^2+x\left(t\ge0\right)\)

Pt trở thành : \(t^2+4t-12=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=2\left(n\right)\\t=-6\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

+) với t = 2 , có : \(x^2+x-2=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy...

Bình luận (0)
Nguyễn Văn A
5 tháng 4 2023 lúc 21:56

Câu 4.2:

(Phản chứng) Giả sử không tồn tại tam giác nào có các cạnh cùng màu.

- Xét điểm A trong 17 điểm đó trên mặt phẳng. Có 16 đoạn thẳng nối từ A đến các điểm còn lại, gọi X là tập hợp 16 đoạn thẳng đó.

- Vì các đoạn thẳng được tô 3 màu: xanh, đỏ hoặc vàng, do đó theo nguyên lí Dirichlet sẽ có ít nhất 6 đoạn thẳng trong X cùng tô một màu.

-Gọi B,C,D,E,F,G là các điểm trong X sao cho các đoạn BC,BD,BE,BF,BG được tô màu xanh, gọi Y là tập hợp các đoạn đó. Theo giả sử ta chỉ có thể tô các đoạn thẳng ấy bảng màu đỏ hoặc vàng. Do đó theo nguyên lí Dirichlet thì có ít nhất 3 đoạn trong Y cùng màu. Giả sử ba đoạn BC,BD,BE được tô màu đỏ. Khi đó các đoạn CD,DE,CE phải tô màu vàng (theo giả sử) => Tam giác CDE được tô màu vàng, mâu thuẫn.

Vậy điều giả sử sai. Do đó ta có đpcm.

 

 

Bình luận (0)
Tống Cao Sơn
Xem chi tiết
Nguyễn Văn A
31 tháng 3 2023 lúc 21:54

Đề có lẽ là "Tìm maxP" chứ nhỉ?

Vì a,b là các số thực dương nên:

\(P=\dfrac{ab}{a^2+2b^2}=\dfrac{1}{\dfrac{a}{b}+\dfrac{2b}{a}}\)

Ta có \(2b\ge ab+4\Rightarrow\dfrac{2b}{a}\ge b+\dfrac{4}{a}\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có \(b+\dfrac{4}{a}\ge4\sqrt{\dfrac{b}{a}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{2b}{a}\ge4\sqrt{\dfrac{b}{a}}\Leftrightarrow\left(\dfrac{b}{a}-2\sqrt{\dfrac{b}{a}}+1\right)\ge1\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{\dfrac{b}{a}}-1\right)^2\ge1\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{b}{a}}-1\ge1\Leftrightarrow\dfrac{b}{a}\ge4\).

Đặt \(x=\dfrac{b}{a}\Rightarrow x\ge4\). Ta có: \(\dfrac{1}{P}=2x+\dfrac{1}{x}=\left(\dfrac{x}{16}+\dfrac{1}{x}\right)+\dfrac{31x}{16}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{16}.\dfrac{1}{x}}+\dfrac{15.4}{16}=\dfrac{33}{4}\)

\(\Leftrightarrow P\le\dfrac{4}{33}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{a}=4\\2b=ab+4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=4\\a=1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(MaxP=\dfrac{4}{33}\).

 

Bình luận (3)
Tống Cao Sơn
Xem chi tiết
Akai Haruma
29 tháng 3 2023 lúc 23:33

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$P\leq \frac{ab}{2\sqrt{a^2b^2}}=\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b$ (thay vào điều kiện $2b\leq ab+4\Leftrightarrow a^2+4\geq 2a$- cũng luôn đúng)

Bình luận (0)