Violympic toán 9

Toán C37

Matt là người chạy nhanh thứ 50 nên thứ hạng nằm khoảng từ 1 đến 50

Matt cũng là người chạy chậm thứ 50 nên thứ hạng nằm khoảng 99 đến 50 (Vì từ 50 đến 99 có (99 - 50):1+1=50 số hạng)

Từ 1 đến 99 có (99 - 1):1+1=99 số hạng

Vậy có 99 người tham gia thi chạy

Toán C36, bài 2

C38. 1087110 hay 1078110 thế ạ??

Toán C34.

Ta có:2x²+x=3y²+y

    ⇔ (x-y)+2(x²-y²)=y²

    ⇔ (x-y)(2x+2y+1)=y²

Gọi ƯCLN_{(x-y,2x+2y+1)} = d

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y⋮d\\2x+2y+1⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow2x+2y+1-2\left(x-y\right)⋮d\)

\(\Rightarrow4y+1⋮d\)

Ta có:(x-y)(2x+2y+1)⋮d²

    ⇒ y² ⋮d² ⇒ y⋮d

Mà 4y+1⋮d

⇒ 1⋮d ⇒x-y,2x+2y+1 là 2 số nguyên tố cùng nhau

          ⇒x-y,2x+2y+1 là các số chính phương

ôi thầy ơi

Ôi sao đăng nhiều thế nó hiện có thế này nhỉ :(

1

đặt biểu thức cần chứng minh là P

có \(\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{97}}.\sqrt{\left(a^2+\dfrac{1}{b^2}\right).\left(4^2+9^2\right)}\ge\dfrac{1}{\sqrt{97}}\left(4a+\dfrac{9}{b}\right)\)

là tương tự đối với \(\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}},\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}\)

\(=>P\ge\)\(\dfrac{1}{\sqrt{97}}\left(4a+\dfrac{9}{b}+4b+\dfrac{9}{c}+4c+\dfrac{9}{a}\right)\)

(đến đây thấy đề sai sai vì ngược dấu )

Toán C33), bài 1

à em nhầm chút ko để ý

1 đặt biểu thức là P

\(=>\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{97}}\sqrt{\left(a^2+\dfrac{1}{b^2}\right)\left(4^2+9^2\right)}\ge\dfrac{1}{\sqrt{97}}\left(4a+\dfrac{9}{b}\right)\)

làm tương tự với \(\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}},\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}\)

\(=>P\ge\dfrac{1}{\sqrt{97}}\left(4a+\dfrac{9}{a}+4b+\dfrac{9}{b}+4c+\dfrac{9}{c}\right)\)

có \(4a+\dfrac{9}{a}=4a+\dfrac{16}{9a}+\dfrac{65}{9a}\ge2\sqrt{\dfrac{4.16}{9}}+\dfrac{81}{9a}=\dfrac{16}{3}+\dfrac{65}{9a}\)

làm tương tự với \(4b+\dfrac{9}{b},4c+\dfrac{9}{c}\)

\(=>P\ge\dfrac{1}{\sqrt{97}}\left(\dfrac{16}{3}+\dfrac{16}{3}+\dfrac{16}{3}+\dfrac{65}{9a}+\dfrac{65}{9b}+\dfrac{65}{9c}\right)\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{97}}\left(16+\dfrac{\left(\sqrt{65}+\sqrt{65}+\sqrt{65}\right)^2}{9\left(a+b+c\right)}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{97}}\left(16+\dfrac{585}{9.2}\right)=\dfrac{\sqrt{97}}{2}\)

dấu"=" xảy ra<=>a=b=c=2/3

C31.1 Hình như sai đề ạ, thay a=b=1/16 thì sẽ thấy bị sai:(

C31.2:

\(P=\dfrac{1}{2}.2a\left(1-b\right)b\left(1-c\right)c\left(1-2a\right)\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2a+1-b+b+1-c+c+1-2a}{6}\right)^6=\dfrac{1}{128}\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(a=\dfrac{1}{4};b=c=\dfrac{1}{2}\)

ctm đầu

C27.1

Ta có: \(P=a^2+b^2+\dfrac{5}{a+b+1}=\left(a^2+1\right)+\left(b^2+1\right)+\dfrac{5}{a+b+ab+1+1}-2\)

\(\ge\dfrac{\left(a+1\right)^2}{2}+\dfrac{\left(b+1\right)^2}{2}+\dfrac{5}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)+1}-2\)

\(\ge2\sqrt{\dfrac{\left(a+1\right)^2\left(b+1\right)^2}{4}}+\dfrac{5}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)+1}-2\)

\(=\left(a+1\right)\left(b+1\right)+1+\dfrac{5}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)+1}-3\)

\(=\dfrac{\left(a+1\right)\left(b+1\right)+1}{5}+\dfrac{5}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)+1}+\dfrac{4\left(a+1\right)\left(b+1\right)+4}{5}-3\)

\(\ge2+\dfrac{4.2\sqrt{a}.2\sqrt{b}+4}{5}-3=2+\dfrac{4.4\sqrt{ab}+4}{5}-3=3\)

Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi a=b=1

C28.1

Ta có VT=\(\dfrac{a^4b^2}{a^2b+b}+\dfrac{b^4c^2}{b^2c+c}+\dfrac{c^4a^2}{c^2a+a}\ge\dfrac{\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)^2}{a^2b+b^2c+c^2a+a+b+c}\)

Vì \(\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)^3\ge\left(a+b+c\right)^3\) ( Theo bđt holder)

\(\Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a\ge a+b+c\)

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)^2}{2\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)}=\dfrac{a^2b+b^2c+c^2a}{2}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{\left(abc\right)^3}}{2}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c

Bài 2.

Ta có:a²+b²+c²+2abc+1≥2(ab+bc+ca)

     ⇔ (a²-2ab+b²)+(c²-2c+1)+(2c+2abc-2bc-2ca)≥0

     ⇔ (a-b)²+(c-1)²+2c(a-1)(b-1)≥0

Vì a,b,c≥0 ⇒ 2c(a-1)(b-1)≥0

Dấu "=" xảy ra ⇔ a=b=c=1

C25: b5: Sử dụng kĩ thuật Côsi ngược dấu:

Ta có: \(\dfrac{1}{2bc^2+1}=1-\dfrac{2bc^2}{2bc^2+1}\ge1-\dfrac{2bc^2}{3\sqrt[3]{b^2c^4}}=1-\dfrac{2\sqrt[3]{bc^2}}{3}\)

Cmtt ta được: \(\dfrac{1}{2ca^2+1}\ge1-\dfrac{2\sqrt[3]{ca^2}}{3};\dfrac{1}{2ab^2+1}\ge1-\dfrac{2\sqrt[3]{ab^2}}{3}\)

\(\Rightarrow VT\ge1-\dfrac{2\sqrt[3]{bc^2}}{3}+1-\dfrac{2\sqrt[3]{ca^2}}{3}+1-\dfrac{2\sqrt[3]{ab^2}}{3}=3-2\left(\dfrac{\sqrt[3]{bc^2}+\sqrt[3]{ca^2}+\sqrt[3]{ab^2}}{3}\right)\)

Ta có: Theo bđt Côsi:

\(\sqrt[3]{bc^2}=\sqrt[3]{b.c.c}\le\dfrac{b+c+c}{3}=\dfrac{b+2c}{3}\)

\(\sqrt[3]{ca^2}=\sqrt[3]{c.a.a}\le\dfrac{c+a+a}{3}=\dfrac{c+2a}{3}\)

\(\sqrt[3]{ab^2}=\sqrt[3]{a.b.b}\le\dfrac{a+b+c}{3}=\dfrac{a+2b}{3}\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{bc^2}+\sqrt[3]{ca^2}+\sqrt[3]{ab^2}\le\dfrac{b+2c+c+2a+a+2b}{3}=a+b+c=3\)

\(\Rightarrow3-2\left(\dfrac{\sqrt[3]{bc^2}+\sqrt[3]{ca^2}+\sqrt[3]{ab^2}}{3}\right)=1\)

\(\Rightarrow VT\ge1\)

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c=1

bài 4

\(VT\ge VP=>VT-VP\ge0\)

mà \(VT\ge4\left(3\sqrt[3]{abc}\right)^3=4.27abc=>VT-4.27abc\ge0\)

nên ta cần chứng minh \(VP=4.27abc\)

\(=>ab^2+bc^2+ca^2+abc=4.abc\)

\(< =>ab^2+bc^2+ca^2=3abc\)(1)

có \(ab^2+bc^2+ca^2\ge3abc\) dấu"=" xảy ra tại a=b=c

thì (1) đúng \(=>VT\ge VP\) khi a=b=c

(cách này ko biết đúng khum=))

Nhớ up tài liệu lên đây để mọi người cùng tải về nha admin VICE.

em không tham gia cuộc thi này :(

Cơ hội kiếm thưởng đây! Với quỹ cộng đồng hoc24 lên tới hơn 450.000đ đến hiện tại, giải thưởng giải Nhất đã đạt ở mức 500.000đ! 
Nếu các bạn muốn giúp đỡ cộng đồng qua việc đóng góp giải thưởng, hãy chuyển ngay COIN tới tài khoản này nha :> 

Xin cảm ơn các nhà hảo tâm:

- Nguyễn Trần Thành Đạt: 400 COIN.

- Sad Boy: 80 COIN.

2, 

`x^3+4x^2-29x+24`

`=x^3-4x^2+3x+8x^2-32x+24`

`=x(x^2-4x+3)+8(x^2-4x+3)`

`=(x+8)(x^2-4x+3)`

`=(x+8)(x^2-x-3x+3)`

`=(x+8)[x(x-1)-3(x-1)]`

`=(x+8)(x-3)(x-1)`

C15. 5: 

Áp dụng BĐT Cauchy: 

\(\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\dfrac{1+b}{8}+\dfrac{1+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3\left(1+b\right)\left(1+c\right)}{\left(1+b\right)\left(1+c\right).64}}=\dfrac{3a}{4}\) 

\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\dfrac{3a}{4}-\dfrac{b+1}{8}-\dfrac{c+1}{8}\)

Tương tự: \(\Rightarrow\dfrac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}\ge\dfrac{3b}{4}-\dfrac{c+1}{8}-\dfrac{a+1}{8}\); \(\Rightarrow\dfrac{c^3}{\left(1+b\right)\left(1+a\right)}\ge\dfrac{3c}{4}-\dfrac{b+1}{8}-\dfrac{a+1}{8}\)

Cộng theo vế: \(VT\ge\dfrac{3}{4}\left(a+b+c\right)-\dfrac{1}{4}\left(a+b+c\right)-\dfrac{3}{4}=\dfrac{a+b+c}{2}-\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{2}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)

C15.2: ( Trần Văn Khắnk - Trần Thanh Fuongzz)

Theo định lý Sin: \(\dfrac{a}{sinA}=2R\Rightarrow sinA=\dfrac{a}{2R}\Rightarrow S=\dfrac{1}{2}bc.sinA=\dfrac{abc}{4R}\Leftrightarrow abc=4SR\) (1)

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có: 

\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0\Leftrightarrow3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\)

\(\Leftrightarrow9OG^2=OA^2+OB^2+OC^2+2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA}\)

\(\Leftrightarrow9OG^2=3R^2+2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA}\)

Có \(2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}^2+\overrightarrow{OB}^2-\left(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\right)^2=2R^2-c^2\)

Tương tự suy ra: \(9OG^2=9R^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)\Rightarrow a^2+b^2+c^2=9\left(R^2-OG^2\right)\) (2)

Từ (1) và (2), ta có đpcm \(\Leftrightarrow12SR\ge4S\sqrt{9\left(R^2-OG^2\right)}\)

\(\Leftrightarrow R\ge\sqrt{R^2-OG^2}\)

\(\Leftrightarrow OG^2\ge0\) ( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(O\equiv G\) hay tam giác ABC đều.

comment dau

C5:

\(A=\dfrac{a}{1+b^2c}+\dfrac{b}{1+c^2d}+\dfrac{c}{1+d^2a}+\dfrac{d}{1+a^2b}=\dfrac{a^2}{a+ab^2c}+\dfrac{b^2}{b+bc^2d}+\dfrac{c^2}{c+cd^2a}+\dfrac{d}{d+da^2b}\)

Áp dụng BĐT Cauchy Schwars dạng Engel ta có:

\(A\ge\dfrac{\left(a+b+c+d\right)^2}{a+b+c+d+ab^2c+bc^2d+cd^2a+da^2b}=\dfrac{16}{4+\left(ab+cd\right)\left(bc+ad\right)}\) 

\(\ge\dfrac{16}{4+\left(\dfrac{ab+bc+cd+ad}{4}\right)^2}=\dfrac{16}{4+\left[\dfrac{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}{2}\right]^2}\ge\dfrac{16}{4+\left[\dfrac{\left(\dfrac{a+b+c+d}{2}\right)^2}{2}\right]^2}=2\)

Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=d=1