Violympic toán 9 - Hỏi đáp

a) Xét \(\Delta ABD\) vuông có:

AB² + AD² = BD² ( định lí Pytago)

Mà AD = BC do tứ giác ABCD là hình chữ nhật

\(\Rightarrow\) 8² + 15² = BD²

\(\Rightarrow\) BD = 17

b) Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong \(\Delta ABD\) vuông:

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AD^2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{8^2}+\dfrac{1}{15^2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{289}{14400}\)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{\dfrac{14400}{289}}=\dfrac{120}{17}\approx7,059\)

c) Xét \(\Delta\)ABD có: AH² = BH.HD

Xét \(\Delta\)BHI và \(\Delta\)AHB có:

\(\widehat{ABI}=\widehat{AHB}=90^o\)

Chung \(\widehat{BAH}\)

\(\Rightarrow\)\(\Delta\) BHI \(\sim\)\(\Delta\)AHB (g.g) (1)

Ta có: CD // AB

=> KD // AB

=> \(\widehat{KDH}=\widehat{HBA}\)

Xét \(\Delta\)AHB và \(\Delta\)KHD có:

\(\widehat{KDH}=\widehat{HBA}\)

\(\widehat{KHD}=\widehat{BHA}=90^o\)

=> \(\Delta\)AHB \(\sim\) \(\Delta\)KHD (g.g) (2)

Từ (1) và (2)

=> \(\Delta\)BHI \(\sim\)\(\Delta\)KHD

=> \(\dfrac{BH}{KH}=\dfrac{IH}{HD}\)

=> BH.HD = IH.KH

=> AH² = IH.KH

bn tự vẽ hình:

a) vì ABCD là hình chữ nhật nên:

AB = DC = 8 đvđd ( đơn vị độ dài )

BC = AD = 15 đvđd

Áp dụng định lý Pi - ta - go trong △ABD vuông tại A có

\(BD^2=AB^2+AD^2\)

=> BD \(=\sqrt{8^2+15^2}=17đvđd\) Vậy BD = 17 đvđd

b)

Áp dụng hệ thức giữ cạnh và đường cao trong △ABD vuông tại A có

AB . AD = AH . BD

=> AH \(=\dfrac{8.15}{17}\) = \(\dfrac{120}{7}\) đvđd Vậy AH = \(\dfrac{120}{7}\) đvđd

a) Xét (O) có: \(\widehat{ACB}\) \(=90^0\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

hay \(\widehat{KCB}\) \(=90^0\)

Lại có: \(MH\perp AB\left(K\in MH\right)\)

\(\Rightarrow\) \(KH\perp AB\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{KHB}\) \(=90^0\)

Vì \(\widehat{KCB}+\widehat{KHB}\) \(=90^0+90^0=180^0\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác KCBH nội tiếp đường tròn (theo dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

b) Kẻ MH cắt (O) tại P, EI cắt (O) tại Q.

Xét (O) có: \(\left\{{}\begin{matrix}MP\perp AB\\AB=2R\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow MH=HP\) (quan hệ vuông góc đường kính và dây)

\(\Rightarrow\) \(\stackrel\frown{AM}=\stackrel\frown{AP}\) (đl liên hệ giữa dây và cung)

Xét (O) có:

\(\widehat{MCA}=\stackrel\frown{AM}/2\) (đl góc nội tiếp)

\(\widehat{AMP}=\stackrel\frown{AP}/2\) (đl góc nội tiếp)

Mà \(\stackrel\frown{AM}=\stackrel\frown{AP}\) (cmtrn)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{MCA}=\widehat{AMP}\) hay \(\widehat{MCA}=\widehat{AMK}\)

Xét ΔMKA∼ΔCMA vì:

\(\widehat{MAC}:chung\)

\(\widehat{AMK}=\widehat{MCA}\) (cmtrn)

\(\Rightarrow\frac{AK}{MA}=\frac{MA}{AC}\Leftrightarrow AK.AC=AM^2\) (đpcm)

c) Vì \(EI\perp AB\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{EIA}\) \(=90^0\)

Xét ΔAEI∼ΔABC vì:

\(\widehat{EIA}=\widehat{ACB}\) \(=90^0\)

\(\widehat{CAB}:chung\)

\(\Rightarrow\frac{AE}{AB}=\frac{AI}{AC}\Leftrightarrow AE.AC=AI.AB\) (1)

Xét (O) có: \(\widehat{AMB}\) \(=90^0\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Ta có: \(\widehat{EIA}+\widehat{EIB}\) \(=180^0\) (hai góc kề bù)

\(\Leftrightarrow\) \(\widehat{EIB}\) \(=180^0-\) \(\widehat{EIA}\) \(=180^0-90^0=90^0\)

Xét ΔEBM∼ΔABM vì:

\(\widehat{AHM}=\widehat{AMB}\) \(=90^0\)

\(\widehat{MAB}:chung\)

\(\Rightarrow\frac{EB}{AB}=\frac{BI}{BM}\Leftrightarrow EB.BM=BI.AB\) (2)

Cộng (1) và (2) Ta có:

\(AE.AK+BE.BM=AI.AB+IB.AB\)

\(\Leftrightarrow AE.AK+BE.BM=AB.\left(AI+IB\right)=AB.AB\)

\(\Leftrightarrow AE.AK+BE.BM=AB^2\) (mà \(AB=2R\))

\(\Leftrightarrow AE.AK+BE.BM=\left(2R\right)^2\)

Vì \(\left(2R\right)^2\) không thay đổi khi M chuyển động

\(\Rightarrow AE.AK+BE.BM\) không phụ thuộc vào vị trí M (đpcm).

ĐKXĐ: \(x\ge0;x\ne1\)

\(P=\left(\frac{1}{x-\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right).\frac{x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\left[\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\right].\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\sqrt{x}-1}=\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}.\left(\sqrt{x}-1\right)=\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)

\(B=\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}+\sqrt{\left(\frac{1}{2}-x\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}\)

\(B\ge\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-x\right)^2+\left(\sqrt{3}\right)^2}=2\)

\(B_{min}=2\) khi \(x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-x\Leftrightarrow x=0\)