Violympic toán 9 - Hỏi đáp

Ta có :

\(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\ge\left(1+\sqrt{ab}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(1+a\right)\left(1+b\right)-\left(1+\sqrt{ab}\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow1+a+b+ab-1-2\sqrt{ab}-ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)

Dấu \("="\) xảy ra khi \(\sqrt{a}-\sqrt{b}=0\Leftrightarrow\sqrt{a}=\sqrt{b}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky:

\(NL^2=\left(\sqrt{4x+2\sqrt{x}+1}+\sqrt{4y+2\sqrt{y}+1}+\sqrt{4z+2\sqrt{z}+1}\right)^2\)

\(\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(4x+2\sqrt{x}+1+4y+2\sqrt{y}+1+4z+2\sqrt{z}+1\right)\)

\(=3\left(4x+4y+4z\right)+3\left(2\sqrt{x}+2\sqrt{y}+2\sqrt{z}\right)+3\left(1+1+1\right)\)

\(=12\left(x+y+z\right)+6\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)+9\)

\(=153+6\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)

Mặt khác,theo Bunyakovsky: \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\le3\left(x+y+z\right)=36\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le6\)

\(\Rightarrow153+6\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\le153+36=189\)

\(\Rightarrow NL\le\sqrt{189}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=4\)

gtln chứ không phải là gtnn nha mấy bạn

Ta sẽ chứng minh \(a^2+b^2+c^2+d^2\) là 1 số chẵn

Thật vậy: \(a^2+c^2=b^2+d^2\Leftrightarrow a^2+c^2+a^2+c^2=a^2+b^2+c^2+d^2\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+c^2\right)=a^2+b^2+c^2+d^2\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\) chẵn:

Xét hiệu: \(a^2+b^2+c^2+d^2-a-b-c-d=a\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)+c\left(c-1\right)+d\left(d-1\right)\) (Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp) là 1 số chẵn

Mà \(a^2+b^2+c^2+d^2\) chẵn \(\Rightarrow a+b+c+d\) chẵn. Mà \(a+b+c+d>2\)

Vậy \(a+b+c+d\) là hợp số

Lời giải:

Từ \(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)

Đặt \((a,b,c)=\left(\frac{1}{x}; \frac{1}{y}; \frac{1}{z}\right)\Rightarrow a+b+c=1\)

BĐT cần chứng minh trở thành:

\(P=\frac{c^3}{(a+1)(b+1)}+\frac{a^3}{(b+1)(c+1)}+\frac{b^3}{(c+1)(a+1)}\geq \frac{1}{16}(*)\)

Thật vậy, áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(\frac{c^3}{(a+1)(b+1)}+\frac{a+1}{64}+\frac{b+1}{64}\geq 3\sqrt[3]{\frac{c^3}{64^2}}=\frac{3c}{16}\)

\(\frac{a^3}{(b+1)(c+1)}+\frac{b+1}{64}+\frac{c+1}{64}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{64^2}}=\frac{3a}{16}\)

\(\frac{b^3}{(c+1)(a+1)}+\frac{c+1}{64}+\frac{a+1}{64}\geq 3\sqrt[3]{\frac{b^3}{64^2}}=\frac{3b}{16}\)

Cộng theo vế các BĐT trên và rút gọn :

\(\Rightarrow P+\frac{a+b+c+3}{32}\geq \frac{3(a+b+c)}{16}\)

\(\Leftrightarrow P+\frac{4}{32}\geq \frac{3}{16}\Leftrightarrow P\geq \frac{1}{16}\)

Vậy \((*)\) được chứng minh. Bài toán hoàn tất.

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=3\)

Đặt \(a=\dfrac{1}{x};b=\dfrac{1}{y};c=\dfrac{1}{z}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=2\\2ab-c^2=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=2-a-b\\2ab-\left(2-a-b\right)^2=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}}\left\{{}\begin{matrix}c=2-a-b\\2ab-4-a^2-b^2+4a+4a-2ab-4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=2-a-b\\\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=2\\c=-2\end{matrix}\right.\Rightarrow}\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\y=\dfrac{1}{2}\\z=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

a) Khi $m=2$ thì pt trở thành:

\(2x^2-5x+2=0\)

\(\Leftrightarrow (m-2)(2m-1)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m=2\\ m=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

b)

Ta thấy \(\Delta=[-(m+3)]^2-8m=m^2-2m+9\)

\(=(m-1)^2+8\geq 8>0, \forall m\in\mathbb{R}\)

Do đó pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$

Áp dụng định lý Viete cho pt bậc 2: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{m+3}{2}\\ x_1x_2=\frac{m}{2}\end{matrix}\right.\)

Biến đổi:

\(A=|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\)

\(A=\sqrt{\left(\frac{m+3}{2}\right)^2-\frac{4m}{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{m^2-2m+9}=\frac{1}{2}\sqrt{(m-1)^2+8}\)

Ta thấy:

\((m-1)^2\geq 0, \forall m\in\mathbb{R}\Rightarrow \frac{1}{2}\sqrt{(m-1)^2+8}\geq \frac{1}{2}\sqrt{8}=\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow A\geq \sqrt{2}\Leftrightarrow A_{\min}=\sqrt{2}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(m-1=0\Leftrightarrow m=1\)