Người hay giúp bạn khác trả lời bài tập sẽ trở thành học sinh giỏi. Người hay hỏi bài thì không. Còn bạn thì sao?
Với a,b là các số dương . Tìm GTNN của biểu thức :
M = (1+a)(1+\(\dfrac{b}{a}\))(1+\(\dfrac{4}{\sqrt{b}}\) )2
0 câu trả lời
Cho a,b là các số dương . CMR : (1+a)(1+b) \(\ge\) (1+\(\sqrt{ab}\) )2
Dấu = xảy ra khi nào ?
1 câu trả lời

Cho các số x,y,z > 0 thỏa mãn x+y+z = 12 . Tìm gt lớn nhất của biểu thức :
A = \(\sqrt{4x+2\sqrt{x}+1}\) + \(\sqrt{4y+2\sqrt{y}+1}\) + \(\sqrt{4z+2\sqrt{z}+1}\)
1 câu trả lời


Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky:
\(NL^2=\left(\sqrt{4x+2\sqrt{x}+1}+\sqrt{4y+2\sqrt{y}+1}+\sqrt{4z+2\sqrt{z}+1}\right)^2\)
\(\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(4x+2\sqrt{x}+1+4y+2\sqrt{y}+1+4z+2\sqrt{z}+1\right)\)
\(=3\left(4x+4y+4z\right)+3\left(2\sqrt{x}+2\sqrt{y}+2\sqrt{z}\right)+3\left(1+1+1\right)\)
\(=12\left(x+y+z\right)+6\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)+9\)
\(=153+6\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
Mặt khác,theo Bunyakovsky: \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\le3\left(x+y+z\right)=36\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le6\)
\(\Rightarrow153+6\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\le153+36=189\)
\(\Rightarrow NL\le\sqrt{189}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=4\)
Cho a ,c > 0 và ab > 1. Chứng minh rằng : \(\dfrac{1}{1+a^4}+\dfrac{1}{1+b^4}+\dfrac{1}{1+c^4}\ge\dfrac{1}{1+ab^3}+\dfrac{1}{1+bc^3}+\dfrac{1}{ca^3}\)
HELP ME!!!!!

với x>0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(A=4x^2-3x+\dfrac{1}{4x+2012}\)
Được cập nhật 7 giờ trước (11:49) 1 câu trả lời
Bạn Khoa có một tấm bìa hình tam giác ABC.Hãy giúp bạn Khoa cắt tấm bìa bằng đường thẳng song song với BC cắt các cạnh AB,AC lần lượt tại D,E để diện tích tam giác BDE lớn nhất
0 câu trả lời
Bạn Khang có một cái hộp hình lập phương và một cái thước đo.Khang đố An làm thế nào đo được độ dài đường chéo AP của hình lập phương. An đề nghị cho mượn thêm hai cái hộp hình lập phương giống cái hộp hình lập phương trên nữa. Khang đáp ứng yêu cầu của An. An đã đo được AP.
Khoa đã nghe hết toàn bộ cuộc trò chuyện của Khang và An, Khoa nói rằng:
"Cho tớ mượn một cây que có chiều dài nhỏ nhất là bằng cạnh của hình lập phương thì tớ đo được AP mà không cần sự hỗ trợ của hai hình lập phương nữa?".
Khoa đã làm cho hai bạn Khang và An "Tâm phục,khẩu phục"
Bạn có biết An, Khoa đã làm thế nào không?
0 câu trả lời
Cho a, b > 0 và ab > 1.Chứng minh rằng : \(\dfrac{1}{1+a^4}+\dfrac{1}{1+b^4}+\dfrac{1}{1+c^4}\ge\dfrac{1}{1+ab^3}+\dfrac{1}{bc^3}+\dfrac{1}{1+ca^3}\)
0 câu trả lời
Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thoả mãn: \(a^2+c^2=b^2+d^2\). Chứng minh rằng: a+b+c+d là hợp số
Được cập nhật 14 giờ trước (5:07) 2 câu trả lời


\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\);
$c^2+d^2=(c+d)^2-2cd$.
Suy ra $a^2+b^2$ và $a+b$ cùng chẵn, hoặc cùng lẻ;
$c^2+d^2$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Kết hợp với
$a^2+b^2=c^2+d^2$ ta suy ra $a+b$ và $c+d$ cùng chẵn,
hoặc cùng lẻ. Từ đó $a+b+c+d$ chẵn, và vì
\(a+b+c+d\ge4\) nên $a+b+c+d$ là hợp số.

Ta sẽ chứng minh \(a^2+b^2+c^2+d^2\) là 1 số chẵn
Thật vậy: \(a^2+c^2=b^2+d^2\Leftrightarrow a^2+c^2+a^2+c^2=a^2+b^2+c^2+d^2\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+c^2\right)=a^2+b^2+c^2+d^2\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\) chẵn:
Xét hiệu: \(a^2+b^2+c^2+d^2-a-b-c-d=a\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)+c\left(c-1\right)+d\left(d-1\right)\) (Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp) là 1 số chẵn
Mà \(a^2+b^2+c^2+d^2\) chẵn \(\Rightarrow a+b+c+d\) chẵn. Mà \(a+b+c+d>2\)
Vậy \(a+b+c+d\) là hợp số
cho x,y,z là các số thực dương , thỏa mãn : xy+yz+zx=xyz
Chứng minh rằng \(\dfrac{xy}{z^3\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\dfrac{yz}{x^3\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\dfrac{zx}{y^3\left(1+z\right)\left(1+x\right)}\ge\dfrac{1}{16}\)


Lời giải:
Từ \(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Đặt \((a,b,c)=\left(\frac{1}{x}; \frac{1}{y}; \frac{1}{z}\right)\Rightarrow a+b+c=1\)
BĐT cần chứng minh trở thành:
\(P=\frac{c^3}{(a+1)(b+1)}+\frac{a^3}{(b+1)(c+1)}+\frac{b^3}{(c+1)(a+1)}\geq \frac{1}{16}(*)\)
Thật vậy, áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(\frac{c^3}{(a+1)(b+1)}+\frac{a+1}{64}+\frac{b+1}{64}\geq 3\sqrt[3]{\frac{c^3}{64^2}}=\frac{3c}{16}\)
\(\frac{a^3}{(b+1)(c+1)}+\frac{b+1}{64}+\frac{c+1}{64}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{64^2}}=\frac{3a}{16}\)
\(\frac{b^3}{(c+1)(a+1)}+\frac{c+1}{64}+\frac{a+1}{64}\geq 3\sqrt[3]{\frac{b^3}{64^2}}=\frac{3b}{16}\)
Cộng theo vế các BĐT trên và rút gọn :
\(\Rightarrow P+\frac{a+b+c+3}{32}\geq \frac{3(a+b+c)}{16}\)
\(\Leftrightarrow P+\frac{4}{32}\geq \frac{3}{16}\Leftrightarrow P\geq \frac{1}{16}\)
Vậy \((*)\) được chứng minh. Bài toán hoàn tất.
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=3\)
Cho biểu thức A = \(\left(\dfrac{1}{x-\sqrt{x}}+\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}-1}\right):\dfrac{\sqrt{x}+1}{x-2\sqrt{x}+1}\)
a) Rút gọn A
b) Tính giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=A-9\sqrt{x}\)
Được cập nhật 21 giờ trước (21:46) 0 câu trả lời
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=2\\\dfrac{2}{xy}-\dfrac{1}{z^2}=4\end{matrix}\right.\)
Được cập nhật Hôm qua lúc 16:30 1 câu trả lời

Đặt \(a=\dfrac{1}{x};b=\dfrac{1}{y};c=\dfrac{1}{z}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=2\\2ab-c^2=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=2-a-b\\2ab-\left(2-a-b\right)^2=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}}\left\{{}\begin{matrix}c=2-a-b\\2ab-4-a^2-b^2+4a+4a-2ab-4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=2-a-b\\\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=2\\c=-2\end{matrix}\right.\Rightarrow}\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\y=\dfrac{1}{2}\\z=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Chứng minh rằng : \(\dfrac{1}{1+a^4}+\dfrac{1}{1+b^4}+\dfrac{1}{1+c^4}\ge\dfrac{1}{1+ab^3}+\dfrac{1}{1+bc^3}+\dfrac{1}{1+ca^3}\)
HELP ME!!!

Cho đường tròn (O;R) và dây cố định AB<2R. Gọi K là điển chính giuwaxcung nhỏ AB; N là điểm tùy ý trên đoạn AB (N khác A, B). Nối KN và kéo dài cắt (O) tại điểm thứ hai M.
a, Chứng minh tam giác AKN và MKA đồng dạng.
b, Chứng minh AK tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ANM.
c, Chứng minh tổng bán kinhshai đường tròn ngoại tiếp tam giaacsANM và BNM không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
0 câu trả lời
cho phương trình 2x2 - (m+3)x+m (1) với m là tham số
a) Giải phương trình khi m =2
b) chứng tỏ phương trình có nghiệm với mọi m . Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (1) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= |x1-x2|
1 câu trả lời


Lời giải:
a) Khi $m=2$ thì pt trở thành:
\(2x^2-5x+2=0\)
\(\Leftrightarrow (m-2)(2m-1)=0\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m=2\\ m=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
b)
Ta thấy \(\Delta=[-(m+3)]^2-8m=m^2-2m+9\)
\(=(m-1)^2+8\geq 8>0, \forall m\in\mathbb{R}\)
Do đó pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$
Áp dụng định lý Viete cho pt bậc 2: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{m+3}{2}\\ x_1x_2=\frac{m}{2}\end{matrix}\right.\)
Biến đổi:
\(A=|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\)
\(A=\sqrt{\left(\frac{m+3}{2}\right)^2-\frac{4m}{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{m^2-2m+9}=\frac{1}{2}\sqrt{(m-1)^2+8}\)
Ta thấy:
\((m-1)^2\geq 0, \forall m\in\mathbb{R}\Rightarrow \frac{1}{2}\sqrt{(m-1)^2+8}\geq \frac{1}{2}\sqrt{8}=\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow A\geq \sqrt{2}\Leftrightarrow A_{\min}=\sqrt{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(m-1=0\Leftrightarrow m=1\)
...
Dưới đây là những câu hỏi có bài toán hay do Hoc24 lựa chọn.
Building.
Bảng xếp hạng môn Toán
Nguyễn Huy Tú1820GP
Akai Haruma1580GP
Ace Legona1565GP
soyeon_Tiểubàng giải893GP
Nguyễn Thanh Hằng857GP
Hồng Phúc Nguyễn787GP
Phương An781GP
Võ Đông Anh Tuấn771GP
Trần Việt Linh759GP
Hoàng Lê Bảo Ngọc700GP
Nhã Doanh54GP
Phạm Nguyễn Tất Đạt44GP
ngonhuminh33GP
Akai Haruma32GP
Hồng Phúc Nguyễn28GP
kuroba kaito22GP
nguyen thi vang20GP
Nguyễn Thanh Hằng19GP
Nguyễn Minh Hùng17GP
lê thị hương giang15GP
Ta có :
\(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\ge\left(1+\sqrt{ab}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(1+a\right)\left(1+b\right)-\left(1+\sqrt{ab}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow1+a+b+ab-1-2\sqrt{ab}-ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(\sqrt{a}-\sqrt{b}=0\Leftrightarrow\sqrt{a}=\sqrt{b}\)