Violympic toán 9 - Hỏi đáp

Áp dụng BĐT \(AM-GM\) ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2\ge2xy\\y^2+3\ge2y+2\end{matrix}\right.\Rightarrow x^2+2y^2+3\ge2\left(xy+y+1\right)\Rightarrow\dfrac{1}{x^2+2y^2+3}\le\dfrac{1}{2\left(xy+y+1\right)}\)

Tương tự : \(\dfrac{1}{y^2+2z^2+3}\le\dfrac{1}{2\left(yz+z+1\right)}\)

\(\dfrac{1}{z^2+2x^2+3}\le\dfrac{1}{2\left(zx+x+1\right)}\)

Cộng từng vế BĐT ta được :

\(\dfrac{1}{x^2+2y^2+3}+\dfrac{1}{y^2+2z^2+3}+\dfrac{1}{z^2+2x^2+3}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{xy+y+1}+\dfrac{1}{yz+z+1}+\dfrac{1}{zx+x+1}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{xyz}{xy+y+xyz}+\dfrac{x}{xyz+zx+x}+\dfrac{1}{zx+x+1}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{xz+x+1}{xy+x+1}\right)=\dfrac{1}{2}.1=\dfrac{1}{2}\)

: -> Câu hỏi của Almira

Với \(\forall a\in N\left(a\ne0\right)\cdot\),ta có:\(\sqrt{1+a^2+\dfrac{a^2}{\left(a+1\right)^2}}+\dfrac{a}{a+1}=\sqrt{\dfrac{\left(a^2+1\right)\left(a^2+2a+1\right)+a^2}{\left(a+1\right)^2}}+\dfrac{a}{a+1}=\sqrt{\dfrac{\left(a^2+1\right)^2+2a\left(a^2+1\right)+a^2}{\left(a+1\right)^2}}+\dfrac{a}{a+1}=\sqrt{\dfrac{\left(a^2+a+1\right)^2}{\left(a+1\right)^2}}+\dfrac{a}{a+1}=\dfrac{a^2+a+1}{a+1}+\dfrac{a}{a+1}=\dfrac{\left(a+1\right)^2}{a+1}=a+1\in Z\)(Vì a là số tự nhiên)

Thay a=2014 vào thì ta có: B=2014+1=2015 là số nguyên

Lời giải:

\(x^3-(2m+1)x^2+3(m+4)x-m-12=0\)

\(\Leftrightarrow (x^3-x^2)-(2mx^2-2mx)+(mx-m)+(12x-12)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2(x-1)-2mx(x-1)+m(x-1)+12(x-1)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)(x^2-2mx+m+12)=0\)

Để pt đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì pt:

\(x^2-2mx+m+12=0\) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1:

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta'=m^2-(m+12)>0\\ 1^2-2m.1+m+12\neq 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (m-4)(m+3)>0\\ 13-m\neq 0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} m> 4\\ m< -3\end{matrix}\right.\) và $m\neq 13$

Lời giải:

Để pt có một nghiệm là 2 thì:

\(6.2^3-7.2^2-16.2+m=0\)

\(\Leftrightarrow -12+m=0\Rightarrow m=12\)

Khi đó pt trở thành:

\(6x^3-7x^2-16x+12=0\)

\(\Leftrightarrow 6x^2(x-2)+5x(x-2)-6(x-2)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-2)(6x^2+5x-6)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-2)(3x-2)(2x+3)=0\)

Do đó pt có nghiệm còn lại là \(x=\frac{2}{3}; x=\frac{-3}{2}\)

1. Hạ MH vuông góc AB.

Trên AB lấy điểm D sao cho MD vuông góc MF, hơn nữa vì MA vuông góc MB

=> ^AMF = ^BMD (1)( góc có cạnh tương ứng vuông góc)
Tg ABC vuông cân tại A

=> MA = MB (2) và ^MBD = ^MAF = 45o (3)
Từ (1), (2) ,(3) => tg AMF = tg BMD (g.c.g)

=> AF = BD (4) và MD = MF (5)
Mặt khác ^EMF = 45o mà ^DMF = 90o

=> ^DME = EMF = 45o (6)
Từ (5),(6) => tgEMF = tg DME (c.g.c) ( vì có cạnh ME chung)

=> DE = EF (7)
Từ (4) và (7)

=> AB = AE + BD + DE = AE + AF + DE > EF + DE = 2DE

<=> DE < AB/2

<=> MH.DE/2 < MH.AB/4

<=> S(EMF) = S(DME) < S(AMB)/2 = S(ABC)/4 (đpcm)