Violympic toán 9 - Hỏi đáp

P=\(5x+3y+\dfrac{12}{x}+\dfrac{16}{y}\)
=\(3x+\dfrac{12}{x}+y+\dfrac{16}{y}+2\left(x+y\right)\)

AD BĐT cô si :
Ta có \(3x+\dfrac{12}{x}\ge2\sqrt{3x.\dfrac{12}{x}}=2\sqrt{36}=12\)
\(y+\dfrac{16}{y}\ge2\sqrt{y.\dfrac{16}{y}}=2\sqrt{16}=8\)
\(2\left(x+y\right)\ge2.6=12\)
=> P\(\ge12+8+12=32\)
Dấu = xra \(\left\{{}\begin{matrix}3x=\dfrac{12}{x}\\y=\dfrac{16}{y}\\x+y=6\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(2;4\right)\)
Vậy GTNN của P=32 khi (x;y)=(2;4)

\(Q=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6+\sqrt{9}}}}}\)

Có \(\sqrt{6+\sqrt{9}}=\sqrt{6+3}=\sqrt{9}=3\)

=> \(\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{9}}}=\sqrt{6+3}=\sqrt{9}=3\)

=> \(\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{9}}}}=\sqrt{6+3}=\sqrt{9}=3\)

...........

=> \(Q=\sqrt{6+\sqrt{6+..........+\sqrt{6+\sqrt{9}}}}=\sqrt{6+3}=\sqrt{9}=3\)

Vậy Q=3

@Akai Haruma

thiếu đề bài ak

Ta có \(P^2=\left(\sum\dfrac{x}{\sqrt{y}}\right)^2=\sum\dfrac{x^2}{y}+2\left(\sum\dfrac{xy}{\sqrt{yz}}\right)\)

Mà \(\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{xy}{\sqrt{yz}}+\dfrac{xy}{\sqrt{yz}}+z\ge4\sqrt[4]{x^4}=4x\)

Tương tự rồi cộng lại, ta có

\(P^2+x+y+z\ge4\left(x+y+z\right)\Rightarrow P^2\ge3\left(x+y+z\right)=36\Rightarrow P\ge6\)

NGUYỄN MINH TÀI Ok bí thì cx đừng gắt,t giải đoạn đó cho

\(\left|\sqrt{x-1}-2\right|+\left|\sqrt{x-1}-3\right|=1\)

\(VT=\left|\sqrt{x-1}-2\right|+\left|\sqrt{x-1}-3\right|\)

\(=\left|\sqrt{x-1}-2\right|+\left|3-\sqrt{x-1}\right|\)

\(\ge\left|\sqrt{x-1}-2+3-\sqrt{x-1}\right|=1\)

\("="\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-2\right)\left(3-\sqrt{x-1}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\le\sqrt{x-1}\le3\Leftrightarrow4\le x-1\le9\)

\(\Leftrightarrow5\le x\le10\)

\(\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1-4\sqrt{x-1}+4}+\sqrt{x-1-6\sqrt{x-1}+9}=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-2\right)}^2+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-3\right)^2}=1\)

\(\Leftrightarrow\left|\sqrt{x-1}-2\right|+\left|\sqrt{x-1}-3\right|=1\)

Làm nốt nhé :v

b, Xét \(\bigtriangleup{AQC}\) vuông tại Q , có : \(QE \perp AD\)
Áp dụng hệ thức \(b^2 = a . b'\) , có :

\(\Leftrightarrow\) \(CQ^2 = CA . CE \) (1)

Xét \(\bigtriangleup{CPB}\) vuông tại P , có : \(PD \perp BC\)

Áp dụng hệ thức \(b^2= a . b'\)

\(\Leftrightarrow\) \(CP^2 = CB . CD \) (2)

Vì \(CA . CE = CB . CD \) (cmt) (3)

Từ (1),(2) và (3) \(\Rightarrow\) \(CQ^2 = CP^2\)

\(\Rightarrow\) \(CQ = CP \) (đpcm)

Tự vẽ hình

Ta có : \(CA . CE = CD . CB\)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{CA}{CD} = \dfrac{CB}{CE}\)

Xét \(\bigtriangleup{CAD} \) và \(\bigtriangleup{CBE}\) , có :

\(\widehat{BCE}\) : chung

\(\widehat{CDA} = \widehat{CBE} = 90 ^0\)

\(\Rightarrow\) \(\bigtriangleup{CAD}\) ~ \(\bigtriangleup{CBE}\) ( g.g)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{CA}{CB} = \dfrac{CD}{ CE}\)

\(\Rightarrow\) \(CA. CE = CB . CD\) (đpcm)

ĐKXĐ: \(\left|x\right|\ge\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow x^2-3=\left(x^2-3\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-3=0\\x^2-3=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2=3\\x^2=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\pm\sqrt{3}\\x=\pm2\end{matrix}\right.\)

b/ ĐKXĐ: \(x\le6\)

\(\Leftrightarrow x^2-6x+9=\left(6-x\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-6x+9=x^2-12x+36\)

\(\Leftrightarrow6x=27\Rightarrow x=\frac{9}{2}\)

\(\left(\sqrt{A}+\sqrt{B}\right)\left(A-\sqrt{AB}+B\right)\)

\(=A\sqrt{A}-A\sqrt{B}+B\sqrt{A}+A\sqrt{B}-B\sqrt{A}+B\sqrt{B}\)

\(=A\sqrt{A}+B\sqrt{B}\)

@Nguyễn Việt Lâm Trần Thanh Phương