Violympic toán 9 - Hỏi đáp

Lời giải:
Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ:

\((1+1)^4=1^4+4.1^3+6.1^2+4.1+1\)

\((2+1)^4=2^4+4.2^3+6.2^2+4.2+1\)

\((3+1)^4=3^4+4.3^3+6.3^2+4.3+1\)

..............

\((n+1)^4=n^4+4.n^3+6n^2+4.n+1\)

Cộng theo vế:

\(2^4+3^4+...+(n+1)^4=(1^4+2^4+...+n^4)+4(1^3+2^3+...+n^3)+6(1^2+2^2+...+n^2)+4(1+2+...+n)+n\)

\((n+1)^4=4(1^3+2^3+...+n^3)+6(1^2+2^2+...+n^2)+4(1+2+...+n)+n+1(1)\)

----------------------------

\((1+1)^3=1^3+3.1^2+3.1+1\)

\((2+1)^3=2^3+3.2^2+3.2+1\)

......

\((n+1)^3=n^3+3.n^2+3.n+1\)

Cộng theo vế:

\(2^3+3^3+...+(n+1)^3=(1^3+2^3+...+n^3)+3(1^2+2^2+...+n^2)+3(1+2+...+n)+n\)

\((n+1)^3=3(1^2+2^2+...+n^2)+3(1+2+...+n)+n+1\)

\(1^2+2^2+...+n^2=\frac{(n+1)^3-3(1+2+..+n)-n-1}{3}(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow (n+1)^4=4(1^3+2^3+...+n^3)+2[(n+1)^3-3(1+2+..+n)-n-1]+4(1+2+...+n)+n+1\)

\(=4(1^3+2^3+..+n^3)+2(n+1)^3-2(1+2+...+n)-(n+1)\)

\(\Rightarrow 1^3+2^3+...+n^3=\frac{(n+1)^4-2(n+1)^3+2(1+2+..+n)+n+1}{4}=\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\)

\(\Rightarrow \sqrt{1^3+2^3+...+n^3}=\frac{n(n+1)}{2}=1+2+...+n\) (đpcm)

Lời giải:

Từ \(x^2+y^2+z^2=1\Rightarrow x^2=1-y^2-z^2\leq 1\)

\(\Rightarrow -1\leq x\leq 1\)

Hoàn toàn tương tự: \(-1\leq y,z\leq 1\)

\(x^3+y^3+z^3=1=x^2+y^2+z^2\)

\(\Leftrightarrow x^2(x-1)+y^2(y-1)+z^2(z-1)=0\)

Ta thấy:

\(x^2\geq 0; x-1\leq 0\) với mọi $-1\leq x\leq 1$. Do đó \(x^2(x-1)\leq 0\).

Tương tự \(y^2(y-1); z^2(z-1)\leq 0\). Do đó để tổng \(x^2(x-1)+y^2(y-1)+z^2(z-1)=0\) thì :

\(x^2(x-1)=y^2(y-1)=z^2(z-1)=0\)

Nếu cả 3 số $x,y,z$ đều bằng $1$ thì khi thay vào ĐKĐB thấy vô lý.

Do đó tồn tại giá trị $0$ trong 3 số $x,y,z$

\(\Rightarrow xyz=0\)

Lời giải:

Ta thấy: \(xy+yz+xz=1\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1+y^2=xy+yz+xz+y^2=(y+z)(y+x)\\ 1+x^2=xy+yz+xz+x^2=(x+y)(x+z)\\ 1+z^2=xy+yz+xz+z^2=(z+x)(z+y)\end{matrix}\right.\)

Do đó:

\(x\sqrt{\frac{(y^2+1)(z^2+1)}{1+x^2}}=x\sqrt{\frac{(y+x)(y+z)(z+x)(z+y)}{(x+y)(x+z)}}=x\sqrt{(y+z)^2}=x(y+z)\)

Hoàn toàn tt:

\(y\sqrt{\frac{(x^2+1)(z^2+1)}{y^2+1}}=y(x+z)\)

\(z\sqrt{\frac{(x^2+1)(y^2+1)}{z^2+1}}=z(x+y)\)

Cộng theo vế:

\(S=x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)=2(xy+yz+xz)=2\)

ĐKXĐ: \(x\ge\dfrac{-3}{2}\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{2x+3}-3x=\sqrt{\left(x+5\right)\left(2x+3\right)}+\sqrt{2x+3}-3\left(\sqrt{x+5}+1\right)\)

\(\Leftrightarrow x\left(\sqrt{2x+3}-3\right)=\sqrt{2x+3}\left(\sqrt{x+5}+1\right)-3\left(\sqrt{x+5}+1\right)\)

\(\Leftrightarrow x\left(\sqrt{2x+3}-3\right)=\left(\sqrt{x+5}+1\right)\left(\sqrt{2x+3}-3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2x+3}-3\right)\left(x-1-\sqrt{x+5}\right)=0\)

TH1: \(\sqrt{2x+3}-3=0\Leftrightarrow2x+3=9\Rightarrow x=3\)

TH2: \(x-1-\sqrt{x+5}=0\Leftrightarrow x-1=\sqrt{x+5}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1\ge0\\\left(x-1\right)^2=x+5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge1\\x^2-3x-4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=-1< 1\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(\sqrt{10}-\sqrt{2}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)\sqrt{3-\sqrt{5}}=\left(\sqrt{10}-\sqrt{2}\right)\sqrt{\left(3+\sqrt{5}\right)^2\left(3-\sqrt{5}\right)}=\left(\sqrt{10}-\sqrt{2}\right)\sqrt{\left(3+\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}=\sqrt{2}\left(\sqrt{5}-1\right)\sqrt{\left(9-5\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}=\sqrt{2}\left(\sqrt{5}-1\right)\sqrt{4\left(3+\sqrt{5}\right)}=\sqrt{2}\left(\sqrt{5}-1\right).2\sqrt{3+\sqrt{5}}=2\left(\sqrt{5}-1\right)\sqrt{6+2\sqrt{5}}=2\left(\sqrt{5}-1\right)\sqrt{5+2\sqrt{5}+1}=2\left(\sqrt{5}-1\right)\sqrt{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}=2\left(\sqrt{5}-1\right)\left(\sqrt{5}+1\right)=2\left(5-1\right)=2.4=8\)

Bài 2:

Ta thấy:

\(x^2-4x+11=(x^2-4x+4)+7=(x-2)^2+7\geq 0, \forall x\)

\(x^4-8x^2+21=(x^4-8x^2+16)+5=(x^2-4)^2+5\geq 5, \forall x\)

Do đó:

\((x^2-4x+11)(x^4-8x^2+21)\geq 7.5=35\)

Dấu "=" xảy ra khi \((x-2)^2=(x^2-4)^2=0\Leftrightarrow x=2\)

Vậy.......

Bài 1:

ĐK:...........

PT\((1)\Rightarrow x+y+2\sqrt{(x+y)(x-y)}+x-y=16\) (bình phương 2 vế)

\(\Leftrightarrow x+\sqrt{x^2-y^2}=8\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{x^2-y^2}=8-x\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 8-x\geq 0\\ x^2-y^2=(8-x)^2=x^2-16x+64\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 8\\ y^2=16x-64\end{matrix}\right.\)

Thay vào PT(2) ta có:

\(x^2+16x-64=128\)

\(\Leftrightarrow x^2+16x-192=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=8\\ x=-24\end{matrix}\right.\)

Nếu \(x=8\Rightarrow y^2=16x-64=64\Rightarrow y=\pm 8\) (thỏa mãn)

Nếu $x=-24\Rightarrow y^2=16x-64< 0$ (vô lý-loại)

Vậy $(x,y)=(8,\pm 8)$

\(N=\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}\)

\(=\sqrt{x-4+2.2.\sqrt{x-4}+4}+\sqrt{x-4-2.2.\sqrt{x-4}+4}\)\(=\sqrt{\left(\sqrt{x-4}+2\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-4}-2\right)^2}\)

\(=\sqrt{x-4}+2+\sqrt{x-4}-2\)

\(=2\sqrt{x-4}\)

(không biết đúng không mà thấy kết quả không gọn :(()

dk x≥4

N=√[(x-4)+4√(x-4)+4]+√[(x-4)-4√(x-4)+4]

N=√[√(x-4)+2]^2+√[√(x-4)-2]^2

=|√(x-4)+2|+|√(x-4)-2|

4≤x<8; N=√(x-4)+2-√(x-4)+2=4

x≥8; N=2√(x-4)

em xin lổi vì viết đề sai .Đề đúng là :điểm C(a;b)là trung điểm AB thì khi đó a= ....Em tìm ra a=-1 .Có đúng không à.

Bạn xem lại đề! $a$ là gì?

\(xy+yz+zx-xyz=0\Leftrightarrow xy+yz+zx=xyz\Leftrightarrow;\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1;\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\Rightarrow1\ge\frac{9}{x+y+z}\Rightarrow x+y+z\ge9\)

\(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)}{2}\ge\frac{9}{2}\)

Dấu "=" xayr ra khi x=y=z=3

Lời giải:

Theo định lý Fermat nhỏ, với $(2007,11)=1$ ta có:
\(2007^{10}\equiv 1\pmod {11}\)

\(\Rightarrow 2007^{2007}=(2007^{10})^{200}.2007^7\equiv 1^{200}.2007^7\equiv 2007^7\pmod {11}(1)\)

\(2007\equiv 5\pmod {11}\)

\(\Rightarrow 2007^7\equiv 5^7=5^3.5^3.5=125.125.5\equiv 4.4.5\equiv 3\pmod {11}(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow 2007^{2007}\equiv 3\pmod {11}\) hay $007^{2007}$ chia $11$ dư $3$