Violympic toán 8

a: Xét tứ giác MBCN có góc MBC=góc BCN=góc MNC=90 độ

nên MBCN là hình chữ nhật

mà BM=BC

nên MBCN là hình vuông

b: Ta có: ABCD là hình chữ nhật

nên ABCD nội tiếp đừog tròn đườg kính AC và BD(1)

Ta có: góc DEB=90 độ

nên ΔDEB nội tiếp đường tròn đường kính BD(2)

Từ (1) và (2) suy ra A,E,C cùng thuộc đừog tròn đường kính AC

=>góc AEC=90 độ

a)

Gọi \(x^4+ax^2+1\) là \(f\left(x\right)\). Theo bài ra ta có PT:

\(f\left(-1\right)=\left(-1\right)^4+a\left(-1\right)^2+1=0\)

\(\Leftrightarrow f\left(-1\right)=1+a+1=0\)

\(\Leftrightarrow f\left(-1\right)=a=-2\)

\(\Leftrightarrow a=-2\)

Vậy a=-2

Gọi \(Q\left(x\right)\) là thương khi chia \(f\left(x\right)\) cho \(x+5\) được dư là 2. Theo bài ra ta có PT:

\(f\left(x\right)=3x^2+ax+27=\left(x+5\right).Q\left(x\right)+2\)

<=>\(f\left(-5\right)=3.\left(-5\right)^2+a\left(-5\right)+27=0.Q\left(x\right)+2=2\)

\(\Leftrightarrow f\left(-5\right)=75-5a+27=2\)

\(\Leftrightarrow f\left(-5\right)=-5a=-100\)

\(\Leftrightarrow f\left(-5\right)=a=20\)

\(\Leftrightarrow a=20\)

Vậy a=20

Chúc bạn học thật giỏi! ^^

Khối lượng muối có trong dung dịch khi đã pha thêm 200g nước là: 0,06.(x+200).
Mà khối lượng muối sau khi pha thêm nước vẫn không đổi nên ta có:
0,1. x = 0,06. (x + 20)

=> x =300

Vậy khối lượng dung dịch đã cho là 300 gam.

hình,

~~~

a/ A/dụng pitago vào ΔABC vuông tại A có:

\(BC^2=AB^2+AC^2=8^2+15^2=289\Rightarrow BC=17\left(cm\right)\)

Ta có: ΔABC ~ ΔHBA (g.g)

=> \(\dfrac{AB}{HB}=\dfrac{BC}{AB}\Rightarrow HB=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{8^2}{17}\approx3,8\left(cm\right)\)

Xét ΔHBA (∠A = 90^o), theo pitago có:

\(AB^2=HB^2+AH^2\Rightarrow AH^2=AB^2-HB^2=8^2-3,8^2=49,56\Rightarrow AH\approx7,03\left(cm\right)\)

b/ xét tứ giác AMNH có:

\(\widehat{A}=\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=90^o\left(gt\right)\)

=> tứ giác AMNH là hình chữ nhật

=> MN = AH = 7,03 (cm)

c/ Xét ΔHAB và ΔMAH có:

\(\widehat{BHA}=\widehat{AMH}=90^o\left(gt\right)\)

\(\widehat{A_1}:chung\)

=> ΔHAB ~ ΔMAH (g.g)

=> \(\dfrac{AH}{AM}=\dfrac{AB}{AH}\Rightarrow AH^2=AM\cdot AB\left(1\right)\)

Cmtt có: ΔHAC ~ ΔNAH (g.g)

=> \(\dfrac{AH}{AN}=\dfrac{AC}{AH}\Rightarrow AH^2=AN\cdot AC\left(2\right)\)

Từ (1), (2) => AM . AB = AN . AC (đpcm)

\(\dfrac{x-3}{113}+\dfrac{x-5}{115}=\dfrac{x-7}{117}+\dfrac{x-9}{119}\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x-3}{113}+1\right)+\left(\dfrac{x-5}{115}+1\right)=\left(\dfrac{x-7}{117}+1\right)+\left(\dfrac{x-9}{119}+1\right)\)\(\Leftrightarrow\dfrac{x+110}{113}+\dfrac{x+110}{115}=\dfrac{x+110}{117}+\dfrac{x+110}{119}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x+110}{113}+\dfrac{x+110}{115}-\dfrac{x+110}{117}-\dfrac{x+110}{119}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+110\right)\left(\dfrac{1}{113}+\dfrac{1}{115}-\dfrac{1}{117}-\dfrac{1}{119}\right)=0\)

Mà \(\dfrac{1}{113}+\dfrac{1}{115}-\dfrac{1}{117}-\dfrac{1}{119}\ne0\)

\(\Rightarrow x+110=0\)

\(\Rightarrow x=-110\)

\(\dfrac{x-3}{133}+\dfrac{x-5}{155}=\dfrac{x-7}{117}+\dfrac{x-9}{119}\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x-3}{113}+1\right)+\left(\dfrac{x-5}{115}+1\right)=\left(\dfrac{x-7}{117}+1\right)+\left(\dfrac{x-9}{119}+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x+130}{113}+\dfrac{x+130}{115}=\dfrac{x+130}{117}+\dfrac{x+130}{119}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x+130}{113}+\dfrac{x+130}{115}-\dfrac{x+130}{117}-\dfrac{x+130}{119}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+130\right)\left(\dfrac{1}{113}+\dfrac{1}{115}-\dfrac{1}{117}-\dfrac{1}{119}\right)=0\)

Mà \(\dfrac{1}{113}+\dfrac{1}{115}-\dfrac{1}{117}-\dfrac{1}{119}\ne0\)

\(\Leftrightarrow x+130=0\)

\(\Leftrightarrow x=-130\)

Vậy..

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{9}{x+y+z}\) ( sửa đề )

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow3+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\ge9\)

Ta sẽ CM BĐT trên đúng bằng sử dụng Cô - Si , ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{x}}=2\\\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{y}{z}.\dfrac{z}{y}}=2\\\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{z}.\dfrac{z}{x}}=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\ge6\)

\(\Leftrightarrow3+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\ge9\)

\(\Rightarrowđpcm.\)

\("="\Leftrightarrow x=y=z\)

Sửa đề như Linh :3

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz, ta có:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}=\dfrac{3^2}{x+y+z}=\dfrac{9}{x+y+z}\)

\(\dfrac{a^3+b^3}{2}>\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^3\)

Bất đẳng thức cần chứng minh

\(\Leftrightarrow4\left(a^3+b^3\right)>\left(a+b\right)^3\)

\(\Leftrightarrow3a^3+3b^3\ge3a^2b+3ab^2\)

Áp dụng BĐT cô - si ta có:

\(a^3+a^3+b^3\ge3\sqrt[3]{a^3\cdot a^3\cdot b^3}=3a^2b\)

Tương tự: \(a^3+b^3+b^3\ge3ab^2\)

Cộng các vế 2 bđt trên ta được:

\(3a^3+3b^2\ge3a^2b+3ab^2\)

Vậy bđt ban đầu được chứng minh.

Dấu ''='' xảy ra khi a = b

a) \(\left(8x-3\right)\left(3x+2\right)-\left(4x+7\right)\left(x+4\right)=\left(2x+1\right)\left(5x-1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(24x^2+16x-9x-6\right)-\left(4x^2+16x+7x+28\right)=10x^2-2x+5x-1\)
\(\Leftrightarrow24x^2+16x-9x-6-4x^2-16x-7x-28=10x^2-2x+5x-1\)
\(\Leftrightarrow24x^2+16x-9x-4x^2-16x-7x-10x^2+2x-5x=6+28-1\)
\(\Leftrightarrow10x^2-19x=33\)
\(\Leftrightarrow10x^2-19x+33=0\)
Phương trình vô nghiệm!!!!!!!!

b) \(4\left(x-1\right)\left(x+5\right)-\left(x+2\right)\left(x+5\right)=3\left(x-1\right)\left(x+2\right)\)
\(\Leftrightarrow4\left(x^2+5x-x-5\right)-\left(x^2+5x+2x+10\right)=3\left(x^2+2x-x-2\right)\)
\(\Leftrightarrow4x^2+20x-4x-20-x^2-5x-2x-10=3x^2+6x-3x-6\)
\(\Leftrightarrow4x^2+20x-4x-x^2-5x-2x-3x^2-6x+3x=20+10-6\)
\(\Leftrightarrow6x=24\)
\(\Leftrightarrow x=4\)
Vậy \(S=\left\{4\right\}\)