Violympic toán 8 - Hỏi đáp

Người hay giúp bạn khác trả lời bài tập sẽ trở thành học sinh giỏi. Người hay hỏi bài thì không. Còn bạn thì sao?

Viet Nam TTS 1996 - Những cách giải hay$?$

Cho $a,b,c$ là các số thực. Chứng minh rằng:

\[(a+b)^4 +(b+c)^4 +(c+a)^4 \geqq \frac{4}{7}(a^4+b^4+c^4)\]

Giải (cách của em)

Đặt $t=\frac{a+b}{2}$ và $f(a;b;c)=\text{VT-VP}$

Ta có: \[f(a;b;c) -f(t;t;c) = {\frac {3\, \left( a-b \right) ^{2}\Big[7\,{a}^{2}+10\,ab+7\,{b}^{2}+56\,c
\left( a+b+c \right) \Big]}{56}} \geqq 0\]

Ta có điều này là vì \[\sum\limits_{cyc} a(a+b+c) \geqq 0\] nên có thể giả sử $c(a+b+c) \geqq 0$

Sau cùng$,$ ta chứng minh \[f(t;t;tc) \geqq 0 \Leftarrow {\frac {2\, \left( 5\,{c}^{2}+14\,ct-{t}^{2} \right) ^{2}}{35}}+{
\frac {12\, \left( 2\,c+7\,t \right) ^{2}{t}^{2}}{35}} \geqq 0\]

Xong.

Em rất muốn xem những cách khác từ mọi người$?$

0 câu trả lời
Click để xem thêm, còn nhiều lắm! Gửi câu hỏi

...

Dưới đây là những câu hỏi có bài toán hay do Hoc24 lựa chọn.

Building.