Violympic toán 8

Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Yeutoanhoc
17 tháng 5 2021 lúc 20:23

Gọi tuổi anh,tuổi bố,tuổi ông lần lượt là `a,b,c(a<b<c)(a,b,c in N^**)`

 Biết rằng tuổi của bố Anh có bao nhiêu ngày thì tuổi của Anh có bấy nhiêu tuần mà một tuần có bảy ngày

`=>b=7a`

Tuổi của ông Anh có bao nhiêu năm thì tuổi của Anh có bấy nhiêu tháng mà một năm có 12 tháng

`=>c=12a`

Theo bài:`a+b+c=100`

`=>a+7a+12a=100`

`=>20a=100`

`=>a=5`

`=>b=7a=35`

`=>c=12a=60`

Vậy tuổi của anh,bố,ông lần lượt là 5,35,60 tuổi

Bình luận (2)

                                                 Bài làm :

Nếu tuổi bố Anh bao nhiêu ngày thì tuổi tuổi Anh bấy nhiêu tuần => Anh  = 1/7 tuổi bố vì 1 tuần có 7 ngày .

Nếu ông Anh bao nhiêu năm thì Anh bấy nhiêu tháng => tuổi Anh = 1/12 tuổi ông vì 1 năm có 12 tháng .

Ví tuổi Anh = 1/7 tuối bố và = 1/12 tuổi ông nên ta có tuổi Anh là 1 phần bằng nhau thì tuổi của bố là 7 phần và tuổi ông là 12 phần như thế        .        

Tổng số phần tuổi 3 người là :        12 +7 +1 = 20 ( phần ) .

Tuổi của Anh là :       100 : 20 x 1 = 5 ( tuổi) .

Tuổi của bố Anh là :          5 x 7 = 35 ( tuổi ) .

Tuổi của ông Anh là :      5 x 12 = 60 ( tuổi) .

 Vậy Anh 5 tuổi , bố Anh 35 tuổi và ông Anh 60 tuổi .

 

Bình luận (7)
_Jun(준)_
17 tháng 5 2021 lúc 21:07

Gọi tuổi  Anh là a (tuổi) (a\(\in\)N*)

Khi đó : tuổi bố Anh là 7a (tuổi)

             tuổi ông Anh 12a (tuổi)

Vì tổng số tuổi của Anh, bố Anh và ông Anh bẳng 100 nên ta có phương trình:

a + 7a + 12a = 100

\(\Leftrightarrow\)20a = 100

\(\Leftrightarrow\)a = 5 (thỏa mãn)

Vậy tuổi Anh là 5 (tuổi)

       tuổi bố Anh là 7. 5 = 35 (tuổi)

             tuổi ông Anh 12. 5 =60 (tuổi)

 

 

Bình luận (0)
Gallavich
Xem chi tiết
Akai Haruma
29 tháng 3 2021 lúc 23:13

1. 

Câu 1:

a) $CD\perp AC, BH\perp AC$ nên $CD\parallel BH$

Tương tự: $BD\parallel CH$

Tứ giác $BHCD$ có hai cặp cạnh đối song song nhau (BH-CD và BD-CH) nên là hình bình hành

b) 

Áp dụng bổ đề sau: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng 1 nửa cạnh huyền.

Ta có:

$BO$ là trung tuyến của tgv $ABD$ nên $BO=\frac{AD}{2}$

$CO$ là trung tuyến của tgv $ACD$ nên $CO=\frac{AD}{2}$

$\Rightarrow BO=CO(1)$ 

$OK\parallel AH, AH\perp BC$ nên $OK\perp BC(2)$

Từ $(1);(2)$ ta dễ thấy $\triangle OBK=\triangle OCK$ (ch-cgv)

$\Rightarrow BK=CK$ hay $K$ là trung điểm $BC$

Mặt khác:

$HBDC$ là hình bình hành nên $HD$ cắt $BC$ tại trung điểm mỗi đường. Mà $K$ là trung điểm $BC$ nên $K$ là trung điểm $HD$

Xét tam giác $AHD$ có $O$ là t. điểm $AD$, $K$ là t. điểm $HD$ nên $OK$ là đường trung bình của tam giác $AHD$ ứng với cạnh $AH$.

$\Rightarrow OK=\frac{AH}{2}=3$ (cm)

 

Bình luận (2)
Akai Haruma
29 tháng 3 2021 lúc 23:13

Hình câu 1:

undefined

Bình luận (2)
Akai Haruma
29 tháng 3 2021 lúc 23:23

Hai bài toán khác nhau thì bạn đặt bài toán 1 là câu 1, bài toán 2 là câu 2 cho dễ phân biệt.

Câu 2:

Gọi $AB=c; BC=a; CA=b$. Áp dụng tính chất đường phân giác thì:

$\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{BC}=\frac{c}{a}$

$\Rightarrow \frac{b}{CD}=\frac{AC}{CD}=\frac{AD+CD}{CD}=\frac{c+a}{a}$

$\Rightarrow CD=\frac{ab}{a+c}$

Hoàn toàn tương tự:

$BE=\frac{ca}{a+b}$

Xét tam giác $CDB$ có phân giác $CI$. Áp dụng tính chất đường phân giác:

$\frac{ID}{BI}=\frac{CD}{BC}=\frac{ab}{a(a+c)}=\frac{b}{a+c}$

$\Rightarrow \frac{BD}{BI}=\frac{a+b+c}{a+c}$

Tương tự với tam giác $BEC$ phân giác $BI$ thì: $\frac{CE}{CI}=\frac{a+b+c}{a+b}$

Thay vô điều kiện $BD.CE=2BI.CI$ thì:

$\frac{BD}{BI}.\frac{CE}{CI}=2$

$\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^2}{(a+c)(a+b)}=2$

$\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2$ nên theo Pitago đảo thì $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ 

$\Rightarrow \widehat{BAC}=90^0$

 

Bình luận (3)
Big City Boy
Xem chi tiết
Akai Haruma
17 tháng 3 2021 lúc 19:25

Lời giải:

$x^{99}+x^{55}+x^n+x-7=(x^{99}+x)+(x^{55}+x)+x^n-x-7$

$=x(x^{98}+1)+x(x^{54}+1)+x^n-x-7$

Hiển nhiên: $x^{98}+1=(x^2)^{49}+1\vdots x^2+1$

$x^{54}+1=(x^2)^{27}+1\vdots x^2+1$

Xét các TH sau:

TH1: $n=4k$ thì $x^n-1=x^{4k}-1\vdots x^4-1\vdots x^2+1$. Khi đó đa thức dư là $-x-6$

TH2: $n=4k+1$ thì $x^{n}-x=x(x^{4k}-1)\vdots x^2+1$. Khi đó đa thức dư là $-7$

TH3: $n=4k+2$ thì: $x^n+1=x^{4k+2}+1=(x^2)^{2k+1}+1\vdots x^2+1$. Khi đó đa thức dư là $-x-8$

TH4: $n=4k+3$ thì $x^n+x=x^{4k+3}+x=x(x^{4k+2}+1)\vdots x^2+1$. Khi đó đa thức dư là $-2x-7$

Bình luận (0)
Nguyễn Kiên
23 tháng 3 2021 lúc 21:30

Lấy ví du về vật có thế năng hấp dẫn so với mặt đất

 

Bình luận (0)
Nguyễn Nhân
Xem chi tiết
Akai Haruma
17 tháng 3 2021 lúc 17:55

Lời giải:
Đặt $\sqrt{2x}=a; \sqrt{2y}=b$ thì $0\leq a,b\leq 1$

Bài toán trở thành:
CMR:

$\frac{a}{b^2+2}+\frac{b}{a^2+2}\leq \frac{2}{3}$
$\Leftrightarrow 3(a^3+b^3)+6(a+b)\leq 2a^2b^2+4(a^2+b^2)+8(I)$

--------------------------

Thật vậy:

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\leq 2(a^2-ab+b^2)$

$\Rightarrow 3(a^3+b^3)\leq 6(a^2-ab+b^2)(1)$

$(a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow a+b\leq ab+1$

$\Rightarrow 6(a+b)\leq 6(ab+1)(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow 3(a^3+b^3)+6(a+b)\leq 6(a^2+b^2+1)(*)$

Mà:

$6(a^2+b^2+1)-[2a^2b^2+4(a^2+b^2)+8]$

$=2(a^2+b^2-a^2b^2-1)=2(a^2-1)(1-b^2)\leq 0$

$\Rightarrow 6(a^2+b^2+1)\leq 2a^2b^2+4(a^2+b^2)+8(**)$

Từ $(*);(**)$ suy ra $(I)$ đúng. Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$

Bình luận (0)
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Nguyễn Thành Trương
19 tháng 2 2021 lúc 20:30

C113

Ta có: \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = \dfrac{1}{{a + b + c}} \Longrightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{{a + b + c}} - \dfrac{1}{c}\)

\(\begin{array}{l} \Longrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {a + b + c} \right)c = abc - ab\left( {a + b + c} \right)\\ \Longrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) = 0 \end{array}\)

............

Bình luận (0)
Trương Huy Hoàng
19 tháng 2 2021 lúc 20:43

C112:

a16 + a8b8 + b16 

= a16 + 2a8b8 + b16 - a8b8

= (a8 + b8)2 - (a4b4)2

= (a8 + b8 - a4b4)(a8 + b8 + a4b4)

Bình luận (0)
✿✿❑ĐạT̐®ŋɢย❐✿✿
20 tháng 2 2021 lúc 10:30

C112 : \(a^{16}+a^8b^8+b^{16}\)

\(=\left(a^8+b^8\right)^2-\left(a^4b^4\right)^2\)

\(=\left(a^8+b^8+a^4b^4\right)\left(a^8+b^8-a^4b^4\right)\)

\(=\left[\left(a^4+b^4\right)^2-\left(a^2b^2\right)^2\right].\left(a^8+b^8-a^4b^4\right)\)

\(=\left(a^4+b^4-a^2b^2\right)\left(a^4+b^4+a^2b^2\right)\left(a^8+b^8-a^4b^4\right)\)

\(=\left[\left(a^2+b^2\right)^2-\left(ab\right)^2\right]\left(a^4+b^4-a^2b^2\right)\left(a^8+b^8-a^4b^4\right)\)

\(=\left(a^2+b^2+ab\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\left(a^4+b^4-a^2b^2\right)\left(a^8+b^8-a^4b^4\right)\)

Bình luận (0)
Trần Minh Hoàng
Xem chi tiết
Trần Minh Hoàng
1 tháng 2 2021 lúc 22:26

Sau khi thử bằng pascal thì em thấy bài này hình như có vô số nghiệm (Chắc là sai đề). Nhưng nếu ai tìm được công thức tổng quát của k thì hay biết mấy.

Bình luận (3)
Nguyễn Lê Phước Thịnh
1 tháng 2 2021 lúc 23:06

K=16, K=225;

Bình luận (0)
Trương Huy Hoàng
2 tháng 2 2021 lúc 10:10

k = 1; k = 16; k = 225 :v

Bình luận (0)
Hoàng Thị Minh Phương
Xem chi tiết
Hung nguyen
17 tháng 7 2018 lúc 10:50

Giả sử bài toán đã có đầu đủ giả thuyết cần thiết rồi. (Thiếu giả thuyết nhá bác).

\(x^3+y^3+z^3\ge\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^3+\left(\dfrac{y+z}{2}\right)^3+\left(\dfrac{z+x}{2}\right)^3\)

\(\Leftrightarrow6\left(x^3+y^3+z^3\right)-3\left(xy^2+xz^3+yx^2+yz^2+zx^2+zy^2\right)\ge0\)

Ta có bổ đề:

\(x^3+x^3+y^3\ge3yx^2\)

Thế vô thì bài toán được chứng minh.

Bình luận (3)
Nguyễn Shinn
17 tháng 7 2018 lúc 13:50

1 cách giải khác:

\(bdt\Leftrightarrow8\left(x^3+y^3+z^3\right)\ge\left(x+y\right)^3+\left(y+z\right)^3+\left(x+z\right)^3\)

\(\Leftrightarrow8\left(x^3+y^3+z^3\right)\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)+xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)\)

\(\Leftrightarrow6\left(x^3+y^3+z^3\right)\ge xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+3\left(y+z\right)\left(y^2-yz+z^2\right)+3\left(x+z\right)\left(x^2-xz+z^2\right)\ge xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2+3\left(y+z\right)\left(y-z\right)^2+3\left(x+z\right)\left(x-z\right)^2=0\)

\("="\Leftrightarrow x=y=z\)

Bình luận (1)
Chuột yêu Gạo
Xem chi tiết
Akai Haruma
14 tháng 7 2018 lúc 11:40

Lời giải:

Theo BĐT về tam giác: độ dài một cạnh tam giác thì nhỏ hơn tổng độ dài 2 cạnh còn lại:

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} AM< MP+AP\\ AM< MN+AN\end{matrix}\right.\Rightarrow 2AM< MP+MN+AP+AN\)

Dễ nhận thấy $MN,MP$ là các đường trung bình của tam giác $ABC$

\(\Rightarrow MN=\frac{1}{2}AB; MP=\frac{1}{2}AC\)

Lại có: \(AP=\frac{1}{2}AB; AN=\frac{1}{2}AC\)

Do đó: \(2AM< \frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}AC=AB+AC\)

\(\Rightarrow AM< \frac{AB+AC}{2}\)

Hoàn toàn TT với \(BN, CP\) suy ra:

\(AM+BN+CP< \frac{AB+AC}{2}+\frac{BC+BA}{2}+\frac{CA+CB}{2}=AB+BC+AC\)

Ta có đpcm

Bình luận (0)
OoO Min min OoO
Xem chi tiết
Akai Haruma
8 tháng 7 2018 lúc 10:41

Lời giải:

Với \(x=\sqrt{2}\) là nghiệm. Đặt

Đặt \(x^3+ax^2+bx+c=(x+\sqrt{2})(x+m)(x+n)\)

Thực hiện khai triển:

\(\Leftrightarrow x^3+ax^2+bx+c=x^3+x^2(m+n+\sqrt{2})+x(mn+\sqrt{2}m+\sqrt{2}n)+\sqrt{2}mn\)

Đồng nhất hệ số:

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m+n+\sqrt{2}=a\\ mn+\sqrt{2}(m+n)=b\\ \sqrt{2}mn=c\end{matrix}\right.(*)\)

\(\Rightarrow \frac{c}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}.a=b+2\)

\(\Rightarrow \sqrt{2}(b+2)=c+2a\in\mathbb{Q}\)

\(b+2\in\mathbb{Q}; \sqrt{2}\not\in\mathbb{Q}\) nên điều trên xảy ra khi \(b+2=0\Leftrightarrow b=-2\)

Do đó: \(mn+\sqrt{2}(m+n)=-2\)

\(\Leftrightarrow (m+\sqrt{2})(n+\sqrt{2})=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} m=-\sqrt{2}\\ n=-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Không mất tq, giả sử \(m=-\sqrt{2}\Rightarrow n=a\) (theo $(*)$)

Vậy 3 nghiệm của pt là: \((\sqrt{2}; -\sqrt{2}; a)\)

Bình luận (0)
OoO Min min OoO
Xem chi tiết
Akai Haruma
4 tháng 7 2018 lúc 15:30

Lời giải:

Đặt \((a-b,b-c,c-a)=(x,y,z)\)\(\Rightarrow x+y+z=0\).

Ta cần cm:

\(x^5+y^5+z^5\vdots 5xyz\) với \(x,y,z\neq 0\in\mathbb{Z}\)

Thật vậy:

\(x^5+y^5+z^5=(x+y)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4)+z^5\)

\(=(x+y)[x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4-5x^3y-5xy^3-5x^2y^2]+z^5\)

\(=(x+y)[(x+y)^4-5xy(x^2+y^2+xy)]+z^5\)

\(=(x+y)^5-5xy(x+y)(x^2+xy+y^2)+z^5\)

\(=(-z)^5-5xy(-z)(x^2+y^2+xy)+z^5\)

\(=5xyz(x^2+y^2+xy)\vdots 5xyz\)

Do đó ta có đpcm.

Bình luận (0)