Chuyên mục VICE, Toán học, số 114. Bài toán dưới đây được tìm thấy tại một đền thờ ở Sabae (Nhật Bản) vào năm 1807. Mọi người hãy thử sức với nhiều cách khác nhau!
\(\left\{{}\begin{matrix}x-y=61741\\y-z=14197\\\sqrt[7]{x}+\sqrt[7]{y}+\sqrt[7]{z}=12\end{matrix}\right.\)
Từ phương trình đã cho suy ra \(\sqrt[7]{z+75938}+\sqrt[7]{z+14197}+\sqrt[7]{z}=12\).
Nếu \(z>2187\Rightarrow VT>12\).
Tương tự với z < 2187.
Suy ra \(z< 2187\) nên y = ...; x = ...
\(\left\{{}\begin{matrix}x-y=61741\left(1\right)\\y-z=14197\left(2\right)\\\sqrt[7]{x}+\sqrt[7]{y}+\sqrt[7]{z}=12\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Giả sử: x < 0 \(\Rightarrow\) y < 0 \(\Rightarrow\) z < 0 \(\Rightarrow\) \(\sqrt[7]{x}+\sqrt[7]{y}+\sqrt[7]{z}< 0\) \(\Rightarrow\) Vô nghiệm
Với x > 0:
(+) y < 0 \(\Rightarrow\) z < 0 \(\Rightarrow\) Vô nghiệm (x không thỏa mãn (1);(3))
(+) Với y > 0
(-) z < 0 (Vô nghiệm) (CM tương tự)
(-) z > 0 \(\Rightarrow\) x + y + z > 0
Ta có:
\(y-z=14197\Rightarrow y=14197+z\) (1)
\(\left\{{}\begin{matrix}x-y=61741\\y-z=14197\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) \(x-z=75938\) \(\Rightarrow\) \(x=75938+z\) (2)
Thay (1), (2) vào \(\sqrt[7]{x}+\sqrt[7]{y}+\sqrt[7]{z}=12\) ta được:
\(\sqrt[7]{75938+z}+\sqrt[7]{14197+z}+\sqrt[7]{z}=12\)
Ta có: Với z > 0 thì \(\sqrt[7]{75938+z}>4,97\)
Vì x, y, z > 0 nên \(\sqrt[7]{x}>4,97\)
Xét x, z là số nguyên:
Với \(\sqrt[7]{x}=5\Rightarrow z=2187\) (z là số nguyên nhỏ nhất có thể tìm được để x nguyên)
Thử lại thấy đúng nên ta tìm được x = 78125; y = 16384; z = 2187
Xét x không là số nguyên:
Với \(\sqrt[7]{x}>5\) \(\Rightarrow\) Không có nghiệm x, y, z thỏa mãn hpt trên
Với \(4,97< \sqrt[7]{x}< 5\) \(\Rightarrow\) Không có nghiệm x, y, z thỏa mãn hpt trên
Vậy x = 78125; y = 16384; z = 2187
Chắc sai :v
1: \(A=\left(\dfrac{4x-x^3}{1-4x^2}-x\right):\left(\dfrac{4x^2-x^4}{1-4x^2}+1\right)\)
a, Tìm tập xác định và rút gọn A
b, x = ? để A>0, A<0
2: Tìm a, b để \(x^4+ax^3+b⋮x^2-1\) (lưu ý: chứng mình bằng 2 phương pháp)
3: Rút gọn \(\dfrac{\sqrt{12}-\sqrt{27}-\sqrt{48}}{1-\sqrt{5}+9\sqrt{9-4\sqrt{5}}}\)
4: Cho 2a, 3b, 4c tỉ lệ thuận với 3; 4; 5 và a - b + 2c = 1. Tính 2a + b - 3c
5: Cho 2a, 3b, 4c tỉ lệ ngược với 3; 4; 5 và a - b + 2c = 1. Tính 2a + b - 3c
6: Cho x + y + z = 1. Tìm min K = \(x^2+y^2+z^2\)
Bài 2:
Để \(x^4+ax^3+b\vdots x^2-1\) thì \(x^4+ax^3+b\) phải được viết dưới dạng :
\(x^4+ax^3+b=(x^2-1)Q(x)\) với $Q(x)$ là đa thức thương.
Thay $x=1$ và $x=-1$ lần lượt ta có:
\(\left\{\begin{matrix} 1+a+b=(1^2-1)Q(1)=0\\ 1-a+b=[(-1)^2-1]Q(-1)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=-1\\ -a+b=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=0\\ b=-1\end{matrix}\right.\)
PP 2 xin đợi bạn khác giải quyết :)
Bài 3:
Ta có: \(\frac{\sqrt{12}-\sqrt{27}-\sqrt{48}}{1-\sqrt{5}+9\sqrt{9-4\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt{12}-\sqrt{27}-\sqrt{48}}{1-\sqrt{5}+9\sqrt{5+4-4\sqrt{5}}}\)
\(=\frac{\sqrt{12}-\sqrt{27}-\sqrt{48}}{1-\sqrt{5}+9\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}}=\frac{\sqrt{12}-\sqrt{27}-\sqrt{48}}{1-\sqrt{5}+9(\sqrt{5}-2)}=\frac{\sqrt{3}(2-3-4)}{-17+8\sqrt{5}}=\frac{-5\sqrt{3}}{-17+8\sqrt{5}}\)
\(=\frac{5\sqrt{3}}{17-8\sqrt{5}}\)
Bài 1:
a) ĐKXĐ: \(\left\{\begin{matrix} 1-4x^2\neq 0\\ \frac{4x^2-x^4}{1-4x^2}+1\neq 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\neq \frac{\pm 1}{2}\\ \frac{1-x^4}{1-4x^2}\neq 0\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\neq \frac{\pm 1}{2}\\ x\neq \pm 1\end{matrix}\right.\)
Rút gọn:
\(A=\left(\frac{4x-x^3}{1-4x^2}-x\right):\left(\frac{4x^2-x^4}{1-4x^2}+1\right)\)
\(=\frac{4x-x^3-x+4x^3}{1-4x^2}:\frac{1-x^4}{1-4x^2}=\frac{3x+3x^3}{1-4x^2}.\frac{1-4x^2}{1-x^4}\)
\(=\frac{3x(x^2+1)}{1-x^4}=\frac{3x(x^2+1)}{(x^2+1)(1-x^2)}=\frac{3x}{1-x^2}\)
b)
\(A=\frac{3x}{1-x^2}>0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} 3x>0, 1-x^2>0\\ 3x<0, 1-x^2< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x>0; -1< x< 1\\ x< 0;\text{x>1 or x< -1}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} 0< x< 1\\ x< -1\end{matrix}\right.\)
\(A=\frac{3x}{1-x^2}< 0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} 3x>0; 1-x^2< 0\\ 3x< 0; 1-x^2>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x>0; \text{x>1 or x< -1}\\ x< 0; -1< x< 1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x>1\\ -1< x< 0\end{matrix}\right.\)
Tìm GTNNcủa
A=|x-2|+|x-2012|
\(A=\left|x-2\right|+\left|x-2012\right|=\left|x-2\right|+\left|2012-x\right|\ge\left|x-2+2012-x\right|=2010\)
Dấu "=" khi \(2\le x\le2012\)
Ta có :
A= \(|x-2|+|x-2012|=|x-2|+\left|2012-x\right|\)\(\ge\left|\left(x-2\right)+\left(2012-x\right)\right|=2010\)
Dấu "=" xảy ra khi (x-2)(2012-x) \(\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(2\le x\le2012\)
Vậy minA = 2010 \(\Leftrightarrow2\le x\le2012\)
Ta có :
\(\left|x-2012\right|=\left|2012-x\right|\)
\(\Rightarrow\left|x-2\right|+\left|2012-x\right|\ge\left|x-2+2012-x\right|=2010\)
Dấu \(''=''\)xảy ra khi \(2\le x\le2012\)
Vậy GTNN là 2010
Ông cường chạy xe gắn máy trên quốc lộ 1A lúc 8 giờ sáng ông thấy đồng hồ tốc độ chỉ 78987 ông nhận thấy đọc xuôi hay đọc ngược vẫn như nhau.Hai giờ sau ông xem lại thì con số cũng có tính chất đó. Hỏi vận tốc trung bình của ông Cường trên quãng đường đã đi là bao nhiêu?
GIẢI HỘ MÌNH VỚI
Theo đề bài ổng lái xe máy và không bị pikachu phóng điện nên vận tốc phải nhỏ hơn 500km/h.
\(\Rightarrow\) Số trên đồng hồ km chỉ có 2 dạng là: \(78x87;79x97\)
Với \(78x87\) ta dễ dàng suy ra được x = 9
Vậy ông chỉ nổ máy rồi đi ăn sáng uống cà phê nên vận tốc trung bình là 0km/h.
Với \(79x97\)
Xét x = 0 thì
\(S=79097-78987=110km\)
\(\Rightarrow v_{tb}=\dfrac{110}{2}=55\) chấp nhận
Xét x = 1 thì
\(S=79197-78987=210km\)
\(\Rightarrow v_{tb}=\dfrac{210}{2}=105\)
Với vận tốc này ông sẽ bị pikachu phóng điện nên khó có thể đi tiếp được.
Xét x = 2
\(S=79297-78987=310km\)
\(\Rightarrow v_{tb}=\dfrac{310}{2}=155\)
Với tốc độ này dễ vô nghĩa địa. Mà ông lái xe máy nên chắc ông không lái nổi tới tốc độ này đâu.
contermet xe máy thường đơn vị là 100m
số chỉ ban đầu 78987 <=>7898,7km
tôc độ máy khoãng ~ 100km/h. chạy quốc lộ 1 chỉ khoảng~80km/h
x là số m ông đi được =>x thuoc (0;200) lấy 200 trăm cho chăn. 7898,7+x=y=> ;789,7< y<10000
nhiều nghiệm bài toán không hợp lý
Bài toán này lớp 6
theo đề bài ta có dạng: 7xyx7
dễ thấy x > 8. Vậy x = 9
Thử y = 0 ta được số: 79097
79097 - 78987 = 110
=> v = 110 : 2 = 55 km/h
Thử y = 1 ta đuoc: 79197
=> v =110 km/h
Theo đề bài vận tốc xe máy k vượt quá 80km/h nên đáp án người đó chạy xe máy với vận tốc trung bình là 55km/h
1. Cho a+b+c=36 và a^b=b^c=c^a vs a,b,c là số tự nhiên. Tìm a,b,c.
.
WLOG \(a\ge b\)
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}a^b=b^c\\a\ge b\end{matrix}\right.\Rightarrow b\le c\)
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}b^c=c^a\\b\le c\end{matrix}\right.\Rightarrow c\ge a\)
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}c^a=a^b\\c\ge a\end{matrix}\right.\Rightarrow a\le b\)
Mâu thuẫn với điều vừa giả sử
Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}a=b=c\\a+b+c=36\end{matrix}\right.\Rightarrow a=b=c=12\)
Lightning Farron Không mâu thuẫn với điều giả sử nhé. Vì giả sử là \(a\ge b\) chứ không phải \(a>b\). Mà nếu như giả sử là \(a>b\) là không đúng thì vẫn chưa đủ để kết luận là \(a=b\). Phải chứng minh thêm \(a< b\) là không đúng nữa mới được kết luận \(a=b\) (chỗ này chỉ cần ghi là chứng minh tương tự thôi).
Từ 200 số tự nhiên 1;2;3;4;5;.....;200, ta lấy ra k số bất kì sao cho trong các số vừa lấy luôn tìm được 2 số mà số này là bội của số kia. Tìm giá trị nhỏ nhất của k
Xét \(k=100\) ta dễ dàng tìm được tập số có n số mà trong đó không có số nào là bội của số kia. \(\left\{101;102;...;200\right\}\)
Ta chứng minh với \(k=101\)thì bài toán đúng
Ta lấy ra ngẫu nhiên 101 số từ tập hợp 200 số đã cho \(\left\{a_1;a_1;...;a_{101}\right\}\)
Ta biểu diễn 101 số này thành dạng
\(a_1=2^{x_1}.b_1;a_2=2^{x_2}.b_2;...;a_{101}=2^{x_{101}}.b_{101}\)
Với \(x_1;x_2;...;x_{101}\)là các số tự nhiên, \(b_1;b_2;...;b_{101}\)là các số lẻ và
\(1\le b_1;b_2;...;b_{101}\le199\)
Ta thấy rằng từ 1 đến 199 có tất cả 100 số lẻ vì thế trong 101 số đã chọn ra tồn tại \(m>n\) sao cho \(b_m=b_n\). Hai số này chính là bội của nhau.
Vậy với k nhỏ nhất là 101 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Gọi a;b;c là các cạnh tam giác; 3 đường cao tương ứng là \(h_a;h_b;h_c\).
CMR \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{h_a^2+h_b^2+h_c^2}\ge\text{4}\).
-Qua A vẽ đường thẳng Ax song song với CK , từ C vẽ đường thẳng vuông góc AE tại H , trên tia đối tia HA lấy điểm E sao cho HA=HE= \(\dfrac{AE}{2}\). Nối BE
- CM \(\Delta\)ACE cân tại C \(\Rightarrow\) CA=CE=b
- Áp dụng pytago vào \(\Delta\)ABE \(\Rightarrow\) (2hc)2+c2 =(BE)2 \(\le\) (a+b)2 ( dấu = xảy ra khi B,C,E thẳng hàng ) \(\Rightarrow\) (2hc)2 \(\le\) (a+b)2 -c2 (1)
tương tự (2hb)2 =..............(2), (2ha)2 = .........(3)
Cộng vế theo vế (1)(2)(3) ta đc ......đpcm
CMR với ∀ n ∈ N* ta luôn có
\(S=\dfrac{1}{1+a_1+a_1a_2+a_1a_2a_3+...+a_1a_2a_3...a_{n-1}}\)
\(+\dfrac{1}{1+a_2+a_2a_3+a_2a_3a_4+...+a_2a_3a_4...a_n}\)
\(+\dfrac{1}{1+a_3+a_3a_4+a_3a_4a_5+...+a_3a_4a_5...a_na_1}\)
\(+...+\dfrac{1}{1+a_n+a_na_1+a_na_1a_2+a_na_1a_2...a_{n-2}}=1\)với \(a_1a_2a_3a_4...a_n=1\)
\(S=\dfrac{1}{1+a_1+a_1a_2+...+a_1a_2...a_{n-1}}+\dfrac{1}{1+a_2+a_2a_3+...+a_2a_3...a_n}+...+\dfrac{1}{1+a_n+a_na_1+...+a_na_1...a_{n-2}}\)
\(=\dfrac{1}{1+a_1+a_1a_2+...+a_1a_2...a_{n-1}}+\dfrac{1}{1+a_2+a_2a_3+...+a_2a_3...a_{n-1}+\dfrac{1}{a_1}}+...+\dfrac{1}{1+a_{n-1}+\dfrac{1}{a_1a_2...a_{n-2}}+...+\dfrac{1}{a_{n-2}}}+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{a_1a_2...a_{n-1}}+\dfrac{1}{a_2a_3...a_{n-1}}+...+\dfrac{1}{a_{n-1}}}\)\(=\dfrac{1}{1+a_1+a_1a_2+...+a_1a_2...a_{n-1}}+\dfrac{a_1}{1+a_1+a_1a_2+...+a_1a_2...a_n}+...+\dfrac{a_1a_2...a_{n-2}}{1+a_1+a_1a_2+...+a_1a_2...a_{n-1}}+\dfrac{a_1a_2...a_{n-1}}{1+a_1+a_1a_2+...+a_1a_2...a_{n-1}}\)
\(=\dfrac{1+a_1+a_1a_2+...+a_1a_2...a_{n-1}}{1+a_1+a_1a_2+...+a_1a_2...a_{n-1}}=1\)
Tính giá trị biểu thức:
\(2x^4+3x^2y^2+y^4+y^2\) với \(x^2+y^2=1\)
Lời giải:
Ta có:
\(2x^4+3x^2y^2+y^4+y^2=(2x^4+2x^2y^2)+(x^2y^2+y^4)+y^2\)
\(=2x^2(x^2+y^2)+y^2(x^2+y^2)+y^2\)
\(=2x^2+y^2+y^2\) (thay \(x^2+y^2=1\) )
\(=2(x^2+y^2)=2\)
Chứng minh rằng nếu p và q là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì ta có:
(p-1)(p+1)(q-1)(q+1) luôn chia hết cho 576
Ta thấy: p,q là 2 số nguyên tố lớn hơn 3\(\Rightarrow p\) \(lẻ\)
\(\Rightarrow p-1;p+1;q-1;q+1⋮2\)
\(Do\) \(p-1;p+1\) \(là\) \(2\) \(số\) \(chẵn\) \(liên\) \(tiếp\)\(\Rightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮4.2=8\)
\(Tương\) \(tự\) \(với\) \(\left(q-1\right)\left(q+1\right)\Rightarrow\left(q-1\right)\left(q+1\right)⋮8\)
\(\Rightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(q-1\right)\left(q+1\right)⋮8.8=64\) \(\left(1\right)\)
\(Do\) \(p-1;p;p+1\) \(là\) \(3\) \(số\) \(tự\) \(nhiên\) \(liên\) \(tiếp\) \(nên\) \(chắc\) \(chắn\) \(có\) \(1\) \(số⋮3\) \(mà\) \(p\) \(là\) \(số\) \(nguyên\) \(tố\)
\(\Rightarrow p-1\) \(hoặc\) \(p+1⋮3\)
\(Tương\) \(tự\) \(với\) \(\left(q-1\right)\left(q+1\right)\Rightarrow\left(q-1\right)\left(q+1\right)⋮3\)
\(\Rightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(q-1\right)\left(q+1\right)⋮3.3=9\) \(\left(2\right)\)
\(Từ\) \(\left(1\right)\) \(và\) \(\left(2\right)\)\(\Rightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(q-1\right)\left(q+1\right)⋮64.9=576\)
\(\left(đpcm\right)\)
