Violympic toán 7

Akai Haruma
Akai Haruma Giáo viên 21 tháng 6 2018 lúc 17:05

Bài 2:

Để \(x^4+ax^3+b\vdots x^2-1\) thì \(x^4+ax^3+b\) phải được viết dưới dạng :

\(x^4+ax^3+b=(x^2-1)Q(x)\) với $Q(x)$ là đa thức thương.

Thay $x=1$ và $x=-1$ lần lượt ta có:

\(\left\{\begin{matrix} 1+a+b=(1^2-1)Q(1)=0\\ 1-a+b=[(-1)^2-1]Q(-1)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=-1\\ -a+b=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=0\\ b=-1\end{matrix}\right.\)

PP 2 xin đợi bạn khác giải quyết :)

Bình luận (0)
Akai Haruma
Akai Haruma Giáo viên 21 tháng 6 2018 lúc 17:12

Bài 3:

Ta có: \(\frac{\sqrt{12}-\sqrt{27}-\sqrt{48}}{1-\sqrt{5}+9\sqrt{9-4\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt{12}-\sqrt{27}-\sqrt{48}}{1-\sqrt{5}+9\sqrt{5+4-4\sqrt{5}}}\)

\(=\frac{\sqrt{12}-\sqrt{27}-\sqrt{48}}{1-\sqrt{5}+9\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}}=\frac{\sqrt{12}-\sqrt{27}-\sqrt{48}}{1-\sqrt{5}+9(\sqrt{5}-2)}=\frac{\sqrt{3}(2-3-4)}{-17+8\sqrt{5}}=\frac{-5\sqrt{3}}{-17+8\sqrt{5}}\)

\(=\frac{5\sqrt{3}}{17-8\sqrt{5}}\)

Bình luận (0)
Akai Haruma
Akai Haruma Giáo viên 21 tháng 6 2018 lúc 17:00

Bài 1:

a) ĐKXĐ: \(\left\{\begin{matrix} 1-4x^2\neq 0\\ \frac{4x^2-x^4}{1-4x^2}+1\neq 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\neq \frac{\pm 1}{2}\\ \frac{1-x^4}{1-4x^2}\neq 0\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\neq \frac{\pm 1}{2}\\ x\neq \pm 1\end{matrix}\right.\)

Rút gọn:

\(A=\left(\frac{4x-x^3}{1-4x^2}-x\right):\left(\frac{4x^2-x^4}{1-4x^2}+1\right)\)

\(=\frac{4x-x^3-x+4x^3}{1-4x^2}:\frac{1-x^4}{1-4x^2}=\frac{3x+3x^3}{1-4x^2}.\frac{1-4x^2}{1-x^4}\)

\(=\frac{3x(x^2+1)}{1-x^4}=\frac{3x(x^2+1)}{(x^2+1)(1-x^2)}=\frac{3x}{1-x^2}\)

b)

\(A=\frac{3x}{1-x^2}>0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} 3x>0, 1-x^2>0\\ 3x<0, 1-x^2< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x>0; -1< x< 1\\ x< 0;\text{x>1 or x< -1}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} 0< x< 1\\ x< -1\end{matrix}\right.\)

\(A=\frac{3x}{1-x^2}< 0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} 3x>0; 1-x^2< 0\\ 3x< 0; 1-x^2>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x>0; \text{x>1 or x< -1}\\ x< 0; -1< x< 1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x>1\\ -1< x< 0\end{matrix}\right.\)

Bình luận (0)
 Mashiro Shiina
Mashiro Shiina 2 tháng 5 2018 lúc 21:48

\(A=\left|x-2\right|+\left|x-2012\right|=\left|x-2\right|+\left|2012-x\right|\ge\left|x-2+2012-x\right|=2010\)

Dấu "=" khi \(2\le x\le2012\)

Bình luận (1)
Jenny Phạm
Jenny Phạm 2 tháng 5 2018 lúc 21:51

Ta có :

A= \(|x-2|+|x-2012|=|x-2|+\left|2012-x\right|\)\(\ge\left|\left(x-2\right)+\left(2012-x\right)\right|=2010\)

Dấu "=" xảy ra khi (x-2)(2012-x) \(\ge0\)

\(\Leftrightarrow\) \(2\le x\le2012\)

Vậy minA = 2010 \(\Leftrightarrow2\le x\le2012\)

Bình luận (15)
chú tuổi gì
chú tuổi gì 3 tháng 5 2018 lúc 10:08

Ta có :

\(\left|x-2012\right|=\left|2012-x\right|\)

\(\Rightarrow\left|x-2\right|+\left|2012-x\right|\ge\left|x-2+2012-x\right|=2010\)

Dấu \(''=''\)xảy ra khi \(2\le x\le2012\)

Vậy GTNN là 2010

Bình luận (0)
Hung nguyen
Hung nguyen 2 tháng 5 2018 lúc 13:34

Theo đề bài ổng lái xe máy và không bị pikachu phóng điện nên vận tốc phải nhỏ hơn 500km/h.

\(\Rightarrow\) Số trên đồng hồ km chỉ có 2 dạng là: \(78x87;79x97\)

Với \(78x87\) ta dễ dàng suy ra được x = 9

Vậy ông chỉ nổ máy rồi đi ăn sáng uống cà phê nên vận tốc trung bình là 0km/h.

Với \(79x97\)

Xét x = 0 thì

\(S=79097-78987=110km\)

\(\Rightarrow v_{tb}=\dfrac{110}{2}=55\) chấp nhận

Xét x = 1 thì

\(S=79197-78987=210km\)

\(\Rightarrow v_{tb}=\dfrac{210}{2}=105\)

Với vận tốc này ông sẽ bị pikachu phóng điện nên khó có thể đi tiếp được.

Xét x = 2

\(S=79297-78987=310km\)

\(\Rightarrow v_{tb}=\dfrac{310}{2}=155\)

Với tốc độ này dễ vô nghĩa địa. Mà ông lái xe máy nên chắc ông không lái nổi tới tốc độ này đâu.

Bình luận (26)
ngonhuminh
ngonhuminh 3 tháng 5 2018 lúc 10:59

contermet xe máy thường đơn vị là 100m

số chỉ ban đầu 78987 <=>7898,7km ​

​tôc độ máy khoãng ~ 100km/h. chạy quốc lộ 1 chỉ khoảng~80km/h

x là số m ông đi được =>x thuoc (0;200) lấy 200 trăm cho chăn. 7898,7+x=y=> ;789,7< y<10000

​nhiều nghiệm bài toán không hợp lý

Bình luận (1)
Lightning Farron
Lightning Farron 22 tháng 4 2018 lúc 11:18

WLOG \(a\ge b\)

\(\left\{{}\begin{matrix}a^b=b^c\\a\ge b\end{matrix}\right.\Rightarrow b\le c\)

\(\left\{{}\begin{matrix}b^c=c^a\\b\le c\end{matrix}\right.\Rightarrow c\ge a\)

\(\left\{{}\begin{matrix}c^a=a^b\\c\ge a\end{matrix}\right.\Rightarrow a\le b\)

Mâu thuẫn với điều vừa giả sử

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}a=b=c\\a+b+c=36\end{matrix}\right.\Rightarrow a=b=c=12\)

Bình luận (0)
Hung nguyen
Hung nguyen 23 tháng 4 2018 lúc 8:25

Lightning Farron Không mâu thuẫn với điều giả sử nhé. Vì giả sử là \(a\ge b\) chứ không phải \(a>b\). Mà nếu như giả sử là \(a>b\) là không đúng thì vẫn chưa đủ để kết luận là \(a=b\). Phải chứng minh thêm \(a< b\) là không đúng nữa mới được kết luận \(a=b\) (chỗ này chỉ cần ghi là chứng minh tương tự thôi).

Bình luận (0)
Trần Phương Thảo
Trần Phương Thảo 20 tháng 4 2018 lúc 8:58

101 nhé bạn đúng 101% luôn !!

Bình luận (0)
Hung nguyen
Hung nguyen 19 tháng 4 2018 lúc 9:24

Xét \(k=100\) ta dễ dàng tìm được tập số có n số mà trong đó không có số nào là bội của số kia. \(\left\{101;102;...;200\right\}\)

Ta chứng minh với \(k=101\)thì bài toán đúng

Ta lấy ra ngẫu nhiên 101 số từ tập hợp 200 số đã cho \(\left\{a_1;a_1;...;a_{101}\right\}\)

Ta biểu diễn 101 số này thành dạng

\(a_1=2^{x_1}.b_1;a_2=2^{x_2}.b_2;...;a_{101}=2^{x_{101}}.b_{101}\)

Với \(x_1;x_2;...;x_{101}\)là các số tự nhiên, \(b_1;b_2;...;b_{101}\)là các số lẻ và

\(1\le b_1;b_2;...;b_{101}\le199\)

Ta thấy rằng từ 1 đến 199 có tất cả 100 số lẻ vì thế trong 101 số đã chọn ra tồn tại \(m>n\) sao cho \(b_m=b_n\). Hai số này chính là bội của nhau.

Vậy với k nhỏ nhất là 101 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bình luận (1)
cohate
cohate 8 tháng 4 2018 lúc 21:21

-Qua A vẽ đường thẳng Ax song song với CK , từ C vẽ đường thẳng vuông góc AE tại H , trên tia đối tia HA lấy điểm E sao cho HA=HE= \(\dfrac{AE}{2}\). Nối BE

- CM \(\Delta\)ACE cân tại C \(\Rightarrow\) CA=CE=b

- Áp dụng pytago vào \(\Delta\)ABE \(\Rightarrow\) (2hc)2+c2 =(BE)2 \(\le\) (a+b)2 ( dấu = xảy ra khi B,C,E thẳng hàng ) \(\Rightarrow\) (2hc)2 \(\le\) (a+b)2 -c2 (1)

tương tự (2hb)2 =..............(2), (2ha)2 = .........(3)

Cộng vế theo vế (1)(2)(3) ta đc ......đpcm

Bình luận (2)
Lê Trung Kiên
Lê Trung Kiên 30 tháng 3 2018 lúc 19:37

bạn gõ phân số kiểu gì vậy

Bình luận (1)
Phương Linh
Phương Linh 30 tháng 3 2018 lúc 19:46

bn cho phân số z làm sao mà giải

Bình luận (1)
Akai Haruma
Akai Haruma Giáo viên 28 tháng 3 2018 lúc 21:55

Lời giải:

Ta có:

\(2x^4+3x^2y^2+y^4+y^2=(2x^4+2x^2y^2)+(x^2y^2+y^4)+y^2\)

\(=2x^2(x^2+y^2)+y^2(x^2+y^2)+y^2\)

\(=2x^2+y^2+y^2\) (thay \(x^2+y^2=1\) )

\(=2(x^2+y^2)=2\)

Bình luận (0)
ngonhuminh
ngonhuminh 24 tháng 3 2018 lúc 14:50

Bài 2

9x^2 +2 =y^2 +y <=> 36x^2 +8=4y^2 +4y <=> (6x)^2 +9=(2y+1)^2

đặt 2y+1=z ; 6x =t <=> z^2 +9=z^2

<=> z^2 -t^2 =9

Hiệu hai số cp =9 có cặp (25; 16 ) ; (9;0) (*)

(z;t)=(+-5;+-4) ; t=+-4 => 6x =+-1 => x không nguyên loại

(z;t)=(+-3;0) ; => (x;y) =(0; 1);(0;-2)

(*) không nhớ t/c số chính phương thì

(z-t)(z+t) =9

giải 4 hệ nghiệm nguyên => (z;t) => (x;y)

Bình luận (0)
Akai Haruma
Akai Haruma Giáo viên 24 tháng 3 2018 lúc 10:48

Bài 1:

Vì \(x^2+y^2=1999\) là một số lẻ nên $x,y$ khác tính chẵn lẻ. Không mất tổng quát giả sử \(x\) chẵn $y$ lẻ

Đặt \(x=2m, y=2n+1\)

\(\Rightarrow 1999=x^2+y^2=4m^2+(2n+1)^2\)

\(\Leftrightarrow 1999=4m^2+4n^2+4n+1\)

\(\Leftrightarrow 4(m^2+n^2+n)=1998\)

Ta thấy vế trái là một biểu thức chia hết cho $4$, vế phải không chia hết cho $4$ nên pt không tồn tại $m,n$ thỏa mãn.

Tức là phương trình đã cho vô nghiệm.

Bình luận (0)
Akai Haruma
Akai Haruma Giáo viên 24 tháng 3 2018 lúc 11:11

Bài 2:

Ta có: \(9x^2+2=y^2+y\)

\(\Leftrightarrow 9x^2=y^2+y-2\)

\(\Leftrightarrow (3x)^2=(y-1)(y+2)\)

Ta có: \((y-1)(y+2)\geq 0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} y\geq 1\\ y\leq -2\end{matrix}\right.\)

TH1 \(y\geq 1\), đảm bảo \(y-1,y+2\in\mathbb{N}\)

Gọi \(d=\text{ƯCLN}(y-1,y+2)\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y-1\vdots d\\ y+2\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow (y+2)-(y-1)\vdots d\)

\(\Leftrightarrow 3\vdots d\) \(\Leftrightarrow d\in\left\{1;3\right\}\)

Nếu \(d=1\), tức là không số nào trong \(y-1,y+2\) chia hết cho $3$. Mà \((3x)^2\vdots 3\) nên vô lý (loại )

Nếu \(d=3\). Đặt \(y-1=3k\Rightarrow y+2=3k+3\)

PT trở thành: \((3x)^2=3k(3k+1)=9k(k+1)\)

\(\Leftrightarrow x^2=k(k+1)\)

Vì $k,k+1$ nguyên tố cùng nhau mà tích của chúng lại là một số chính phương nên bản thân chúng cũng là số chính phương.

Đặt \(k=m^2; k+1=n^2\)( \(m,n\in\mathbb{N}\) )

\(\Rightarrow n^2-m^2=1\Leftrightarrow (n-m)(n+m)=1\). Đây là dạng pt tích cơ bản ta thu được \(n=1; m=0\Rightarrow k=0\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=1\\ x=0\end{matrix}\right.\)

TH2: \(y\leq -2\) thì \(y-1, y+2\leq 0\).

Đặt \(y+2=-(a-1)\Rightarrow y-1=-(a+2)\)

Khi đó: \((3x)^2=(a-1)(a+2)\) với \(a-1,a+2\geq 0\) (là các số tự nhiên)

TH này lặp lại TH1 và ta thu được \(a=1\Leftrightarrow y=-2; x=0\)

Vậy \((x,y)=(0; 1); (0; -2)\)

Bình luận (0)

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN