Violympic toán 6

"... mỗi chữ số trên đều có mặt" tức là mỗi số tự nhiên lập được có các chữ số đôi một phân biệt. 

* Xét các số có hàng đơn vị là 7:

- Có 6 vị trí cho chữ số hàng chục;

- Có 5 vị trí cho chữ số hàng trăm;

- Có 4 vị trí cho chữ số hàng tiếp theo;

- Tương tự có lần lượt 3 vị trí, 2 vị trí, 1 vị trí cho các chữ số hàng tiếp theo đó.

=> Số các số có hàng đơn vị là 7 là:

6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 (số)

* Tương tự với các số có hàng đơn vị lần lượt là 6, 5, 4, 3, 2, 1.

=> Số các số tự nhiên cần tìm là:

720 + 720 x 6 = 5040 (số)

=> Tổng của các số tự nhiên đó là:

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) x 5040 = 141120

Ta có tổng các chữ số của 141120 chia hết cho 9 ( 1 + 4 + 1 + 1 + 2 + 0 = 9) nên 141120 chia hết cho 9 (đpcm)

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29

tập hợp các số nguyên tố nhỏ hơn 31

->2,3,5,7,11,13,17,19,23,29

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29

cho x thuộc z so sánh x^2 với 2x

Ta có x thuộc Z nên x^2 luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 2x.

(trừ trường hợp số 1^2<2.1)

* Chữ số 2 ở hàng đơn vị:

Từ 100 đến 200, có:

(200 - 100) : 10 = 10 (chữ số 2)

=> Từ 100 đến 400 có 3.10 = 30 chữ số 2

=> Từ 100 đến 390 có 30 - 1 = 29 chữ số 2

* Chữ số 2 ở hàng chục:

Từ 120 đến 129 có: 129 - 120 + 1 = 10 (chữ số 2)

=> Từ 100 đến 390 có 10.3 = 30 chữ số 2

* Chữ số 2 ở hàng trăm:

Từ 200 đến 299 có: 299 - 200 + 1 = 100 (chữ số 2)

Vậy từ 100 đến 390 có: 29 + 30 + 100 = 159 (chữ số 2)

=> Dãy số chẵn từ 100 đến 390 có (159 + 1) : 2 = 80 chữ số 2 (do chữ số 2 ở hàng đơn vị bắt đầu và kết thúc ở số chẵn (102 --> 382) nên các số chẵn  trong dãy sẽ lớn hơn các số lẻ 1 đơn vị).

Đáp án: 80

* Chữ số 2 ở hàng đơn vị:

Từ 100 đến 200, có:

(200 - 100) : 10 = 10 (chữ số 2)

=> Từ 100 đến 400 có 3.10 = 30 chữ số 2

=> Từ 100 đến 390 có 30 - 1 = 29 chữ số 2

* Chữ số 2 ở hàng chục:

Từ 120 đến 129 có: 129 - 120 + 1 = 10 (chữ số 2)

=> Từ 100 đến 390 có 10.3 = 30 chữ số 2

* Chữ số 2 ở hàng trăm:

Từ 200 đến 299 có: 299 - 200 + 1 = 100 (chữ số 2)

Vậy từ 100 đến 390 có số chữ số 2 ở hàng chục và hàng trăm là (bao gồm cả số chẵn và lẻ):  30 + 100 = 130.

=> Bỏ các số lẻ đi còn: 130 : 2 = 65 (số)

=> Dãy số chẵn từ 100 đến 390 có 65 + 29 = 94 chữ số 2.

Vậy phải viết chữ số hai 94 lần

Ô tô thứ nhất trong 1h đi được quãng đường là:

        50 . 1 = 50 ( km )

Quãng đường còn lại là:

      380 - 50 = 330 ( km )

Thời gian đi để hai ô tô gặp nhau là:

     330 ( 50 + 60 ) = 3 ( giờ )

Hai ô tô gặp nhau lúc:

     8 giờ + 3 giờ = 11 giờ

CMR: 2^{2^n} - 1 ⋮ 5

Ta có 2^{2^n} chia 5 dư 1.

Do số chia 5 dư 1 là số có chữ số tận cùng là 1 và 6, mà lũy thừa của 2 là số chẵn nên chữ số tận cùng của 2^{2^n} là 6.

Thế n = 2 vào biểu thức, ta được:

2^{2^2} = 16 (thỏa)

Số có chữ số tận cùng là 6 nhân với 2 ta được số có chữ số tận cùng là 2, nhân tiếp với 2 ta được số có chữ số tận cùng là 4, tiếp tục nhân với 2 thì chữ số tận cùng là 8, nhân với 2 nữa chữ số tận cùng quay lại là 6.

=> Lấy 16 nhân với 2.2.2.2 = 2⁴ ta tiếp tục nhận được số có chữ số tận cùng là 6. Cứ nhân lên với 2⁴ như vậy ta được các số chia 5 dư 1.

Mà 16 = 2⁴ nên dãy số trên là tập hợp các lũy thừa của 2⁴.

=> Công thức tổng quát của các số chia 5 dư 1 là (với x = n - 1):

16^x = (2⁴)^x =  (2⁴)^n-1 = 2^4(n-1) 

Số mũ 4(n-1) là một bội của 4 (1).

Ta xét số mũ của 2^{2^n}:

2ⁿ = 4.2^n-2 ⋮ 4  (2)

Từ (1),(2) => 2ⁿ ⊂ 4(n-1) => 2^{2^n} ⊂ 2^4(n-1) 

Và như đã chứng minh, 2^4(n-1) chia 5 dư 1,

nên 2^{2^n} - 1 ⋮ 5 (đpcm).

Đặt A=15+114+128+144+161+185+197

Ta có:

A=15+(114+128+144)+(161+185+197)

A<15(114.3)+(161.3)

A<15+314+361

A<15+312+120

A<15+14+120

⇒A<12

Vậy 15+

sai đề ko dzậy

\(\dfrac{1}{1\cdot2}>\dfrac{1}{2^2}>\dfrac{1}{2\cdot3},\dfrac{1}{2\cdot3}>\dfrac{1}{3^2}>\dfrac{1}{3\cdot4},...,\dfrac{1}{8\cdot9}>\dfrac{1}{9^2}>\dfrac{1}{9\cdot10}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot4}+...+\dfrac{1}{8\cdot9}>\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{9^2}>\dfrac{1}{2\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot4}+...+\dfrac{1}{9\cdot10}\) \(\Rightarrow1-\dfrac{1}{9}>A>\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{10}\) \(\Rightarrow\dfrac{8}{9}>A>\dfrac{2}{5}\)

a, Ta có : \(5^2A=5^{52}-5^{50}+...+5^4-5^2\)

\(\Rightarrow25A+A=5^{52}-1\)\(\Rightarrow A=\dfrac{5^{52}-1}{26}\)

b, Không thấy n :vvv

c, Ta có : \(A=24\left(5^{48}+...+1\right)\)

\(=4.6.\left(5^{48}+...+1\right)\)

\(=4.6\left(5^{48}+...\right)+24\)

\(=4.5^2\left(5^{46}.6+...\right)+24=100\left(5^{46}.6+...\right)+24\)

Vậy số dư khi chia A cho 100 là 24 .

5 mũ 11 hay mũ n vậy bạn ?

a) Ta có: \(A=5^{50}-5^{48}+5^{46}-5^{44}+...+5^6-5^4+5^2-1\)

\(\Leftrightarrow25A=5^{52}-5^{50}+5^{48}-5^{46}+...+5^8-5^6+5^4-5^2\)

\(\Leftrightarrow26A=5^{52}-1\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{5^{52}-1}{26}\)