Bài 2.2: Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Gọi H là trung điểm AD \(\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\)

\(SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều)

Qua M kẻ đường thẳng song song AC cắt AD kéo dài tại E

\(\Rightarrow AC||\left(SME\right)\Rightarrow d\left(AC;SM\right)=d\left(AC;\left(SME\right)\right)=d\left(A;\left(SME\right)\right)\)

\(AE=\dfrac{1}{2}EH\Rightarrow d\left(A;\left(SME\right)\right)=\dfrac{1}{2}d\left(H;\left(SME\right)\right)\)

Các tam giác AHM và AEM vuông cân tại A \(\Rightarrow\Delta EHM\) vuông cân tại M

\(\Rightarrow EM\perp HM\Rightarrow EM\perp\left(SHM\right)\)

Từ H kẻ \(HK\perp SM\Rightarrow HK\perp\left(SME\right)\)

\(\Rightarrow HK=d\left(H;\left(SME\right)\right)\)

\(MH=AH\sqrt{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\) 

Áp dụng hệ thức lượng: \(\dfrac{1}{HK^2}=\dfrac{1}{SH^2}+\dfrac{1}{MH^2}=\dfrac{10}{3a^2}\Rightarrow HK=\dfrac{a\sqrt{30}}{10}\)

\(\Rightarrow d\left(SM;AC\right)=\dfrac{1}{2}HK=\dfrac{a\sqrt{30}}{20}\)

Gọi H là trung điểm AB \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}SH\perp AB\\CH\perp AB\end{matrix}\right.\) do các tam giác SAB và ABC đều

\(\Rightarrow AB\perp\left(SCH\right)\)

Trong mp (SCH), từ H kẻ \(HD\perp SC\)

\(\Rightarrow HD\) là đường vuông góc chung của AB và SC

\(\Rightarrow HD=d\left(SC,AB\right)\)

\(SH=CH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\Delta SCH\) vuông cân tại H

\(\Rightarrow HD=\dfrac{1}{2}SC=\dfrac{1}{2}.SH.\sqrt{2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}\)

B=5/7(-4/13+7/13-3/13)=5/7x0=0

\(B=\dfrac{6}{19}\cdot\dfrac{-7}{11}+\dfrac{6}{19}\cdot\dfrac{-4}{11}+\dfrac{-13}{19}\)

\(B=\dfrac{6}{19}\cdot\left(-\dfrac{4}{11}+\dfrac{-7}{11}\right)+\dfrac{-13}{19}\)

\(B=\dfrac{6}{19}\cdot\left(-1\right)+\dfrac{-13}{19}\)

\(B=-\dfrac{6}{19}+\dfrac{-13}{19}=-\dfrac{19}{19}=-1\)

Vậy \(B=-1\)

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{p}=\left(1;2;3\right)\)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{q}=\left(3;2-1\right)\)

Vì \(1:2:3\ne3:2:\left(-1\right)\) nen (P) và (Q) cắt nhau.

Do mặt phẳng (R) cần tìm có phương trình vuông  góc với cả (P) và (Q) nên (R) nhận 2 vecto \(\overrightarrow{p}\) và \(\overrightarrow{q}\) làm cặp vecto chỉ phương. 

Vậy mặt phẳng (R) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{r}\) cùng phương với vecto :

\(\left[\overrightarrow{p};\overrightarrow{q}\right]=\left(\left|\begin{matrix}2&3\\2&-1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}3&1\\-1&3\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}1&2\\3&2\end{matrix}\right|\right)\)

              \(=\left(-8;10;-4\right)=-2\left(4;-5;2\right)\)

Do đó có thể chọn \(\overrightarrow{r}=\left(4;-5;2\right)\)

Suy ra (R) có phương trình :

\(4\left(x-1\right)-5\left(y-1\right)+2\left(z-1\right)=0\)

hay \(\left(R\right):4x-5y+3z-1=0\)