Chương 1: VECTƠ

ABCD là hình vuông

=>AC\(\perp\)BD

=>\(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0\)

\(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{BA}\)(2)

\(\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{CD}\)(1)

Vì ABCD là hình vuông nên \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{MC}\)

=>\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}\)

a: \(\overrightarrow{MA}=-3\cdot\overrightarrow{MB}\)

\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}\)

=>\(-3\cdot\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BA}\)

=>\(\overrightarrow{BA}=-4\overrightarrow{MB}=4\overrightarrow{BM}\)

=>M nằm giữa A và B sao cho BA=4BM

b:

Gọi E là trung điểm của AB

Vì E là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}=2\cdot\overrightarrow{NE}\)

 \(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+2\cdot\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}\)

=>\(2\cdot\overrightarrow{NE}+2\cdot\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{NE}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}\)

=>N là trung điểm của CE

c: \(\left|\overrightarrow{PA}\right|=\left|\overrightarrow{PB}\right|\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}\overrightarrow{PA}=-\overrightarrow{PB}\\\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PB}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

=>\(\overrightarrow{PA}=-\overrightarrow{PB}\)

=>P là trung điểm của AB

a: A(3;2); B(1;-3); C(1;4)

Tọa độ vecto AB là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=x_B-x_A=1-3=-2\\y=y_B-y_A=-3-2=-5\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(\overrightarrow{AB}=\left(-2;-5\right)\)

Tọa độ vecto AC là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=x_C-x_A=1-3=-2\\y=y_C-y_A=4-2=2\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(\overrightarrow{AC}=\left(-2;2\right)\)

=>\(\overrightarrow{CA}=\left(2;-2\right)\)

Tọa độ vecto BC là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=x_C-x_B=1-1=0\\y=y_C-y_B=4-\left(-3\right)=7\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(\overrightarrow{BC}=\left(0;7\right)\)

b: \(\overrightarrow{AB}=\left(-2;-5\right);\overrightarrow{AC}=\left(-2;2\right);\overrightarrow{BC}=\left(0;7\right)\)

\(AB=\sqrt{\left(-2\right)^2+\left(-5\right)^2}=\sqrt{29}\)

\(AC=\sqrt{\left(-2\right)^2+2^2}=2\sqrt{2}\)

\(BC=\sqrt{0^2+7^2}=7\)

Chu vi tam giác ABC là:

\(AB+AC+BC=2\sqrt{2}+\sqrt{29}+7\)

\(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CP}\)

\(=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}\)

\(=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}\)

\(\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AM}\)

\(=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\)

\(=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}\)