Chương 3: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC - Hỏi đáp

\(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\frac{\sqrt[3]{5x+3}-2+2-\sqrt{2x+2}}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\frac{\frac{5\left(x-1\right)}{\sqrt[3]{\left(5x+3\right)^2}+2\sqrt[3]{5x+3}+4}-\frac{2\left(x-1\right)}{2+\sqrt{2x+2}}}{x-1}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\left(\frac{5}{\sqrt[3]{\left(5x+3\right)^2}+2\sqrt[3]{5x+3}+4}-\frac{2}{2+\sqrt{2x+2}}\right)=-\frac{1}{12}\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}m.sin\left(\frac{\pi x}{2}+2019\pi\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}msin\left(\frac{\pi x}{2}+2018\pi+\pi\right)\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}msin\left(\frac{\pi x}{2}+\pi\right)=m.sin\left(\frac{\pi}{2}+\pi\right)=-m\)

\(f\left(1\right)=m.sin\left(\frac{\pi}{2}+2019\pi\right)=-m\)

Để hàm số liên tục tại \(x=-1\Leftrightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}=f\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow-m=-\frac{1}{12}\Rightarrow m=\frac{1}{12}\)

y=\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{\sqrt[3]{5x+3}-\sqrt{2x+2}}{x-1}\left(x< 1\right)\\m\cdot sin\left(\frac{\pi x}{2}+2019\pi\right)\left(x\ge1\right)\end{matrix}\right.\).Bạn giải hộ mình với ạ

Bạn ghi lại đề, đề bài từ đoạn "gọi M, Q..." trở đi là thấy ko chính xác nữa

Qua N kẻ đường thẳng song song BC cắt SB tại P \(\Rightarrow ADNP\) là hình thang cân

Gọi H là trung điểm NP \(\Rightarrow MH\perp AD\)

\(\Rightarrow AD\perp\left(SHM\right)\Rightarrow PN\perp\left(SHM\right)\)

Mà PN là giao tuyến của (SBC) và (ADN)

\(\Rightarrow\widehat{SHM}\) là góc giữa (SBC) và (ADN)

\(MQ=AB=a\Rightarrow SQ=\sqrt{SM^2+MQ^2}=\frac{a\sqrt{7}}{2}\)

\(\Rightarrow SH=\frac{1}{2}SQ=\frac{a\sqrt{7}}{4}\)

Do \(MH\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông SMQ \(\Rightarrow MH=\frac{1}{2}SQ=\frac{a\sqrt{7}}{4}\)

\(\Rightarrow cos\widehat{SHM}=\frac{SH^2+HM^2-SM^2}{2SH.HM}=\frac{1}{7}\)

Ta có \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC\)

Mà \(BC\perp AB\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)

b/ Do \(BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp AH\)

Lại có \(AH\perp SB\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AH\perp SC\)

c/ Gọi K là trung điểm BC \(\Rightarrow IK//AC\Rightarrow AC//\left(SIK\right)\)

\(\Rightarrow\left(SI;AC\right)=\widehat{SIK}\) nếu \(\widehat{SIK}\le90^{ }\) hoặc \(180^0-\widehat{SIK}\) nếu \(\widehat{SIK}>90^0\)

\(SI=\sqrt{SA^2+IA^2}=\sqrt{SA^2+\left(\frac{AB}{2}\right)^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)

\(IK=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\sqrt{AB^2+BC^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)

\(SB=\sqrt{SA^2+AB^2}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow SK=\sqrt{SB^2+BK^2}=\sqrt{SB^2+\left(\frac{BC}{2}\right)^2}=a\sqrt{3}\)

\(cos\widehat{SIK}=\frac{SI^2+IK^2-SK^2}{2SI.IK}=-\frac{1}{5}\Rightarrow\widehat{SIK}\approx101^032'\)

\(\Rightarrow\widehat{\left(SI,AC\right)=180^0-\widehat{SIK}}\approx78^028'\)

\(CM=\sqrt{BM^2+BC^2}=\sqrt{\left(\frac{AB}{2}\right)^2+BC^2}=\frac{a\sqrt{21}}{2}\)

Từ A kẻ \(AH\perp CM\Rightarrow\Delta AHM\sim\Delta CBM\)

\(\Rightarrow\frac{AH}{AM}=\frac{BC}{CM}\Rightarrow AH=\frac{AM.BC}{CM}=\frac{AB.BC}{2CM}=\frac{a\sqrt{42}}{7}\)

Từ A kẻ \(AK\perp SH\Rightarrow AK\perp\left(SMC\right)\Rightarrow AK=d\left(A;\left(SMC\right)\right)\)

\(\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{AH^2}+\frac{1}{SA^2}\Rightarrow AK=\frac{AH.SA}{\sqrt{AH^2+SA^2}}=\frac{2a\sqrt{51}}{17}\)

Bài 2:

d/ Do \(AM=BM\Rightarrow d\left(B;\left(SMC\right)\right)=d\left(A;SMC\right)\)

Theo cmt ta có \(CM\perp\left(SAB\right)\)

Từ A kẻ \(AP\perp SM\Rightarrow AP\perp\left(SMC\right)\)

\(\Rightarrow AP=d\left(A;\left(SMC\right)\right)=d\left(B;\left(SMC\right)\right)\)

\(\frac{1}{AP^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AM^2}\Rightarrow AP=\frac{SA.AM}{\sqrt{SA^2+AM^2}}=\frac{3a\sqrt{10}}{10}\)

e/

Do \(MN//BC\) (t/c đường trung bình) \(\Rightarrow BC//\left(SMN\right)\)

\(\Rightarrow d\left(BC;SM\right)=d\left(BC;\left(SMN\right)\right)=d\left(B;\left(SMN\right)\right)\)

Mà \(AM=BM\Rightarrow d\left(B;\left(SMN\right)\right)=d\left(A;\left(SMN\right)\right)\)

Từ A kẻ \(AQ\perp MN\Rightarrow MN\perp\left(SAQ\right)\)

Từ A kẻ \(AT\perp SQ\Rightarrow AT\perp\left(SMN\right)\)

\(\Rightarrow AT=d\left(A;\left(SMN\right)\right)=d\left(BC;SM\right)\)

\(AQ=\frac{1}{2}\frac{2a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(\frac{1}{AT^2}=\frac{1}{AQ^2}+\frac{1}{SA^2}\Rightarrow AT=\frac{SA.AQ}{\sqrt{SA^2+AQ^2}}=\frac{3a\sqrt{13}}{13}\)

Câu 2:

a/ Kẻ \(MH\perp AC\Rightarrow MH\perp\left(SAC\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{MSH}\) là góc giữa SM và (SAC)

\(SM=\sqrt{SA^2+\left(\frac{AB}{2}\right)^2}=a\sqrt{10}\) ; \(MH=\frac{1}{2}\frac{2a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(sin\widehat{MSH}=\frac{MH}{SM}=\frac{\sqrt{30}}{20}\Rightarrow\widehat{MSH}\approx15^053'\)

b/ \(\left\{{}\begin{matrix}MC\perp AB\\MC\perp SA\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow MC\perp\left(SAB\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{SMA}\) là góc giữa \(\left(SMC\right)\) và \(\left(ABC\right)\)

\(tan\widehat{SMA}=\frac{SA}{AM}=3\Rightarrow\widehat{SMA}\approx71^033'\)

c/ Gọi N là trung điểm AC \(\Rightarrow NG=\frac{1}{3}NS\) (t/c trọng tâm)

\(\Rightarrow d\left(G;\left(SAB\right)\right)=\frac{1}{3}d\left(N;\left(SAB\right)\right)\)

Từ N kẻ \(NK\perp AB\Rightarrow NK\perp\left(SAB\right)\)

\(\Rightarrow NK=d\left(N;\left(SAB\right)\right)\)

\(NK=\frac{1}{2}.\frac{2a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow d\left(G;\left(SAB\right)\right)=\frac{a\sqrt{3}}{6}\)

Kẻ hình vuông ABDC \(\Rightarrow H\) là trung điểm ID

Theo tính chất hình vuông ta có \(IH\perp IC\)

\(\Rightarrow CH=\sqrt{IC^2+IH^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)

\(\Rightarrow SH=CH.tan60^0=\frac{a\sqrt{15}}{2}\)

Gọi M là trung điểm BD \(\Rightarrow KM//SD\) (t/c đường trung bình)

\(\Rightarrow KM//\left(SAH\right)\Rightarrow d\left(K;\left(SAH\right)\right)=d\left(M;\left(SAH\right)\right)\)

Mà \(HM//BI\) (t/c đường trung bình) \(\Rightarrow HM\perp\left(SAH\right)\)

\(\Rightarrow HM=d\left(M;\left(SAH\right)\right)\)

\(HM=\frac{1}{2}BI=\frac{a}{2}\)

Đề bài thiếu tất cả các kích thước, bạn tự điền và tự tính

\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABCD)

\(\Rightarrow tan\widehat{SCA}=\frac{4}{5}\) \(\Rightarrow\frac{SA}{AC}=\frac{4}{5}\Rightarrow SA=\frac{4}{5}AC\)

Với \(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}\)

Do \(AD//BC\Rightarrow AD//\left(SBC\right)\Rightarrow d\left(D;\left(SBC\right)\right)=d\left(A;\left(SBC\right)\right)\)

Từ A kẻ \(AH\perp SB\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SBC\right)\right)\)

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AB^2}\Rightarrow AH=\frac{SA.AB}{\sqrt{SA^2+AB^2}}=...\)

Bạn tự vẽ hình nhé :D

Câu 1:

\(BC\perp AB\) ; \(BC\perp BB'\Rightarrow BC\perp\left(ABB'A'\right)\)

\(AA'=\sqrt{A'B^2-AB^2}=a\sqrt{3}\)

Do \(AC=2MC\Rightarrow d\left(A;\left(A'BC\right)\right)=2d\left(M;\left(A'BC\right)\right)\)

Từ A kẻ \(AH\perp A'B\Rightarrow AH\perp\left(A'BC\right)\Rightarrow AH=d\left(A;\left(A'BC\right)\right)\)

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{A'A^2}+\frac{1}{AB^2}\Rightarrow AH=\frac{A'A.AB}{\sqrt{A'A^2+AB^2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow d\left(M;\left(A'BC\right)\right)=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)

Bài 2:

Bạn ghi sai đề, G là trọng tâm ABC nên \(BG\in\left(ABCD\right)\) thì làm gì có góc giữa BG và (ABCD)

Do ko biết SA bạn ghi bằng bao nhiêu nên mình để trống phép tính tự bạn thay số tính kết quả

\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BD\)

Mà \(BD\perp AC\) (t/c 2 đường chéo hình thoi)

\(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\)

b/ Từ A kẻ \(AH\perp SO\Rightarrow AH\perp\left(SBD\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ASH}\) là góc giữa SA và (SBD) hay \(\widehat{ASO}\) là góc giữa SA và (SBD)

Do \(\widehat{BAC}=60^0\Rightarrow\Delta ABC\) đều \(\Rightarrow AC=AB=a\Rightarrow AO=\frac{AC}{2}=\frac{a}{2}\)

\(\Rightarrow tan\widehat{ASO}=\frac{AO}{SA}=...\)

// \(OA=OC\Rightarrow d\left(C;\left(SBD\right)\right)=d\left(A;\left(SBD\right)\right)\)

Mà \(AH\perp\left(SBD\right)\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SBD\right)\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng:

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AO^2}\Rightarrow AH=\frac{SA.AO}{\sqrt{SA^2+AO^2}}=...\)