Bài 16: Ước chung và bội chung

Gọi \(d\inƯC\left(12n+1;30n+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}12n+1⋮d\\30n+2⋮d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}60n+5⋮d\\60n+4⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow60n+5-60n-4⋮d\)

\(\Leftrightarrow1⋮d\)

\(\Leftrightarrow d\inƯ\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow d\in\left\{1;-1\right\}\)

\(\LeftrightarrowƯCLN\left(12n+1;30n+2\right)=1\)

hay phân số \(A=\dfrac{12n+1}{30n+2}\) là phân số tối giản(đpcm)

Gọi d∈ƯC(12n+1;30n+2)d∈ƯC(12n+1;30n+2)

⇔⎧⎨⎩12n+1⋮d30n+2⋮d⇔⎧⎨⎩60n+5⋮d60n+4⋮d⇔{12n+1⋮d30n+2⋮d⇔{60n+5⋮d60n+4⋮d

⇔60n+5−60n−4⋮d⇔60n+5−60n−4⋮d

⇔1⋮d⇔1⋮d

⇔d∈Ư(1)⇔d∈Ư(1)

⇔ƯCLN(12n+1;30n+2)=1⇔ƯCLN(12n+1;30n+2)=1

vậy 

Để 2n-1 là bội của n+3 thì

\(2n-1⋮n+3\)

\(\Leftrightarrow2n+6-7⋮n+3\)

mà \(2n+6⋮n+3\)

nên \(-7⋮n+3\)

\(\Leftrightarrow n+3\inƯ\left(-7\right)\)

\(\Leftrightarrow n+3\in\left\{1;-1;7;-7\right\}\)

hay \(n\in\left\{-2;-4;4;-10\right\}\)

Vậy: \(n\in\left\{-2;-4;4;-10\right\}\)

Để 2n-1 là bội của n+3 thì

2n−1⋮n+3

⇔2n+6−7⋮n+3⇔2n+6−7⋮n+3

mà 2n+6⋮n+32n+6⋮n+3

nên −7⋮n+3−7⋮n+3

⇔n+3∈Ư(−7)⇔n+3∈Ư(−7)

hay 

Vậy: 

Ư(12) ={1; 2; 3; 4; 6; 12} Ư(18) {1; 2; 3; 6; 9; 18}

 ƯC(12, 18) = {1; 2; 3; 6 }

vậy  ƯCLN (12, 18) = 6

ƯC(12,18)={1;2;3;6}

ƯCLN(12,18)={6}

Ư(12)={ 1,2,3,4,6,12 }

Ư(18)={1,2,3,6,9,18 }

ƯC(12,18)= {1,2,3,6 }

ƯCLN(12, 18)={6}

chịu hẳn , bạn ghi rõ ra ..

Ba mũ mười sáu kia lớp hơn nhé 

Do (a, b) = 45 nên a = 45a', b = 45b' với (a', b') = 1.

Ta có \(17a'.45=11b'.45\Leftrightarrow17a'=11b'\).

Do đó \(11b'⋮a'\) mà (b', a') = 1 nên \(11⋮a'\). (1)

Mặt khác ta cũng có \(17a'\vdots11\) mà (17, 11) = 1 nên \(a\vdots 11\). (2)

Từ (1), (2) suy ra a', do đó b' = 17.

Vậy a = 465; b = 765.

210

210

                                                             Giải

Ta có: x  2,3,5,7 và x bé nhất

=>x∈BCNN(2,3,5,7)

2,3,5 và 7 là số ng/tố

=>BCNN(2,3,5,7)=2.3.5.7=210

=>x=210

Ta có: \(\left(2x-3\right)\left(y+8\right)=10\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-3\inƯ\left(10\right)\\y+8\inƯ\left(10\right)\end{matrix}\right.\)

Trường hợp 1: 

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-3=1\\y+8=10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=4\\y=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\left(nhận\right)\\y=2\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Trường hợp 2: 

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-3=-1\\y+8=-10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=2\\y=-18\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Trường hợp 3:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-3=10\\y+8=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=13\\y=-7\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Trường hợp 4: 

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-3=-10\\y+8=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=-7\\y=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{7}{2}\left(loại\right)\\y=7\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Trường hợp 5: 

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-3=2\\y+8=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=5\\y=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{2}\left(loại\right)\\y=-3\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Trường hợp 6: 

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-3=-2\\y+8=-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=1\\y=-13\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Trường hợp 7: 

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-3=5\\y+8=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=8\\y=-6\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Trường hợp 8: 

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-3=-5\\y+8=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=-2\\y=-10\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: (x,y)=(2;2)

8=2^3

12=2^2x3

15=3x5

UCLN[8,12,15]=3

=>U[3]={3}

UCLN[8,12,15]=3

Ta có: \(\dfrac{a^2+3a-7}{a+3}\)

\(\Leftrightarrow a-\dfrac{7}{a+3}\)

\(\Rightarrow a+3\inƯ_{\left(7\right)}=\left\{-7;-1;1;7\right\}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-10\\a=-4\\a=-2\\a=4\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(a=-10;-4;-2;4\) thì \(\dfrac{a^2+3a-7}{a+3}\) có giá trị nguyên

ta có : \(a\) có dạng \(3n+1\) hoặc \(3n+2\) và \(b\) có dạng \(3m+1\) hoặc \(3m+2\)

th1: \(a;b\) chia 3 dư \(1\) \(\Rightarrow ab-1=\left(3n+1\right)\left(3m+1\right)\)

\(=9nm+3n+3m+1-1=3\left(3nm+n+m\right)⋮3\)

th2: \(a;b\) chia 3 dư \(2\) \(\Rightarrow ab-1=\left(3n+2\right)\left(3m+2\right)\)

\(=9nm+6n+6m+4-1=3\left(3nm+2n+2m+1\right)⋮3\)

\(\Rightarrow\) đpcm