Chương 1:ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

\(\overrightarrow{NM}=\left(4;-2;2\right)=2\left(2;-1;1\right)\)

Gọi Q là trung điểm MN \(\Rightarrow Q\left(-1;3;2\right)\)

Phương trình mặt phẳng trung trực của MN (đi qua Q và nhận \(\overrightarrow{NM}\) là 1 vecto pháp tuyến) có dạng:

\(2\left(x+1\right)-1\left(y-3\right)+1\left(z-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2x-y+z+3=0\)

b.

(P) có 1 vecto pháp tuyến là \(\left(1;2;-1\right)\)

Do \(\left(\beta\right)\) song song (P) nên cũng nhận \(\left(1;2;-1\right)\) là 1 vtpt

À thôi bạn ghi sai đề rồi, \(\left(\beta\right)\) chỉ có thể đi qua M hoặc N (1 điểm thôi), không thể đi qua MN được vì MN không song song với (P)

iu

1.

\(y'=x^2-4x+3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=3\end{matrix}\right.\)

Hàm số nghịch biến trên \(\left(1;3\right)\)

2.

\(y'=\frac{2}{\left(x+1\right)^2}>0\) với mọi x thuộc miền xác định

Hàm đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(-1;+\infty\right)\)

3.

\(y'=2x^2-2x+m\)

Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi:

\(y'\ge0;\forall x\Leftrightarrow\Delta'=1-2m\le0\)

\(\Rightarrow m\ge\frac{1}{2}\)

4.

\(y'=3x^2+2\left(1-2m\right)x+2-m\)

Hàm số đồng biến trên khoảng đã cho khi:

\(y'=3x^2+2\left(1-2m\right)x+2-m\ge0\) ; \(\forall x>0\)

\(\Leftrightarrow3x^2+2x+2\ge4mx+m\)

\(\Leftrightarrow3x^2+2x+2\ge\left(4x+1\right)m\)

\(\Leftrightarrow m\le\frac{3x^2+2x+2}{4x+1}\)

\(\Leftrightarrow m\le\min\limits_{x>0}\frac{3x^2+2x+2}{4x+1}\)

Xét \(f\left(x\right)=\frac{3x^2+2x+2}{4x+1}\Rightarrow f'\left(x\right)=\frac{6\left(2x^2+x-1\right)}{\left(4x+1\right)^2}=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)

Từ BBT ta thấy \(\min\limits_{x>0}f\left(x\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{4}\)

\(\Rightarrow m\le\frac{5}{4}\) \(\Rightarrow m=\left\{-10;-9;...;1\right\}\) có 12 giá trị m

5.

\(y'=x^2-4x+3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=3\end{matrix}\right.\)

\(y''=2x-4\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y''\left(1\right)=-2< 0\\y''\left(3\right)=2>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=1\) là điểm cực đại

\(\Rightarrow A\left(1;2\right)\Rightarrow a+b=3\)

6.

Hàm trùng phương có 3 cực trị khi và chỉ khi \(ab< 0\)

\(\Leftrightarrow-2\left(4-m^2\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow m^2>4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>2\\m< -2\end{matrix}\right.\)

1.

\(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{x^2+3}-2}{x^2-1}=0\Rightarrow y=0\) là tiệm cận ngang

\(\lim\limits_{x\rightarrow\pm1}\frac{\sqrt{x^2+3}-2}{x^2-1}=\lim\limits_{x\rightarrow\pm1}\frac{\left(x^2-1\right)}{\left(x^2-1\right)\left(\sqrt{x^2+3}+2\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow\pm1}\frac{1}{\sqrt{x^2+3}+2}\) hữu hạn

\(\Rightarrow\) Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

Vậy ĐTHS có đúng 1 tiệm cận

2.

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{x-2}}{x^2-4}=0\Rightarrow y=0\) là tiệm cận ngang

\(\lim\limits_{x\rightarrow2}\frac{\sqrt{x-2}}{x^2-4}=\lim\limits_{x\rightarrow2}\frac{1}{\left(x+2\right)\sqrt{x-2}}=\infty\)

\(\Rightarrow x=2\) là tiệm cận đứng

Vậy ĐTHS có 2 tiệm cận

3.

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(\frac{4x-m}{x-1}=x+1\Leftrightarrow4x-m=x^2-1\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+m-1=0\) (1)

Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì (1) có 2 nghiệm pb khác 1

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne4\\\Delta'=4-m+1>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 5\\m\ne4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=\left\{-10;-9;...;3\right\}\)

Có 14 giá trị nguyên của m thỏa mãn

4.

\(y'=-4x^3+16x^2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\pm2\end{matrix}\right.\)

\(y_{CĐ}=y\left(\pm2\right)=4\)

Chọn B

tâm đối xứng là giao điểm của 2 tiệm cận => (-1;2)

Chọn B