Tứ giác

( Hình của mk ko chính xác lắm nha bn )

Ta có :

\(AD=2AF\) ( F là trung điểm của AD )

\(AD=2AB\)

\(\Rightarrow AB=AF\)

BC = 2BE ; AD = 2AF ; AD = BC

=> BE = AF

Xét tứ giác AFEB ,có :

BE = AF ; BE // AF ( AD // BC )

=> AFEB là hình bình hành

Mà AB = AF

=> AFEB là hình thoi

=> \(AE\perp BF\)

b, AFEB là hình thoi

=> \(\widehat{FAB}=\widehat{BEF}=60^0\) và \(BE=EF\)

ΔBEF ,có : BE = EF => ΔBEF là cân tại E

mà \(\widehat{BEF}=60^0\)

=> ΔBEF là tam giác đều

\(\Rightarrow\widehat{FBE}=\widehat{FEB}\)

Mà \(\widehat{FEB}=\widehat{ECD}\) ( EF // CD // AB )

\(\Rightarrow\widehat{FBE}=\widehat{DCE}\)

=> BDCE là hình thang cân

c, C/m tương tự tứ giác AFEB , ta có : FDCE là hình thoi

=> DE là phân giác của góc FDC

=> \(\widehat{FDE}=\dfrac{1}{2}\widehat{FDC}=\dfrac{1}{2}.120^0=60^0\)

Xét ΔADM ,có :

\(\widehat{DAM}=\widehat{ADM}=60^0\)

=> ΔADM đều

=> DB là đường trung tuyến đồng thời là đường cao

\(\Rightarrow\widehat{DBM}=90^0\) (1)

Xét tứ giác BMCD ,có :

BM = CD ( BM = AB = CD )

BM // CD ( AB // CD )

=> BMCD là hình bình hành (2)

Từ (1)(2) => BMCD là hình chữ nhật

=> BC cắt MD tại trung điểm mỗi đường

Mà E là trugn điểm của BC

=> E là trugn ddiemr của DM

=> Ba điểm M , E, D thẳng hàng

a, Xét hình chữ nhật ABCD có MN là đường trung bình ta có:

\(AC\text{//}MN;BD\text{//}MN\)(theo tính chất đường trung bình của hình thang)

\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{CNM}=\widehat{BMN}=\widehat{DNM}=90^o\)

(cặp góc đồng vị)

Do đó tứ giác AMNC và BMND là hình chữ nhận(theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật) (đpcm)

b, Vì AMNC và BMND là hình chữ nhật nên

\(\left\{{}\begin{matrix}ME=NE\\MF=NF\end{matrix}\right.\)(theo tính chất của hình chữ nhật)

Do đó tứ giác MEFN là hình thoi(theo dấu hiệu nhận biết của hình thoi)

Câu c;d em đang nghĩ nhá!

d/ Vì AMND là hình chữ nhật nên

\(\Rightarrow AE=EN\)(1)

Vì MENF là hình thoi nên

\(\Rightarrow\)EH // NK (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)EH là đường trung bình của \(\Delta ANK\)

\(\Rightarrow AH=HK\)

Chứng minh tương tự ta có \(KC=HK\)

Vậy \(AH=HK=KC\)

e/ Xét \(\Delta AMO\) và \(\Delta CNO\) có

\(\left\{{}\begin{matrix}AM=CN\\\widehat{AOM}=\widehat{CON}\\\widehat{AMO}=\widehat{CNO}=90^o\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AMO=\Delta CNO\)

\(\Rightarrow OM=ON\left(3\right)\)

Ta lại có: MENF là hình thoi nên có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. (4)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow E,O,F\) thẳng hàng.

Rồi sau một hồi chật con nhà bà vật mới nghĩ ra câu c.

c, Xét hình thoi EMFN ta có:

\(\widehat{MEN}=\widehat{MFN}\)(theo tính chất của hình thoi)

\(\Rightarrow\widehat{AEM}=\widehat{CFN}\)(cùng bù với hai góc bằng nhau)

Ta có:

\(\widehat{BAC}=\widehat{DCA}\left(slt\right)\)

mà \(\widehat{MAE}=\widehat{NCF}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{HAE}=\widehat{KCF}\)

Xét tam giác AHE và tam giác CKE ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{HAE}=\widehat{KCF}\left(cmt\right)\\AE=CF\left(cmt\right)\\\widehat{AEH}=\widehat{CFK}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta AHE=\Delta CKE\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow AH=CK\left(cctu\right)\)

Xét tam giác AMN và tam giác CMN ta có:

AO và ME là đường trung tuyến của tam giác AMN

CO và NF là đường trung tuyến của tam giác CMN

mà \(\left\{{}\begin{matrix}AO\cap ME=\left\{H\right\}\\CO\cap NF=\left\{K\right\}\end{matrix}\right.\)

Do đó H là trọng tâm của tam giác AMN và K là trọng tâm của tam giác CMN

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OK=\dfrac{1}{2}CK\\OH=\dfrac{1}{2}AH\end{matrix}\right.\Rightarrow OK+OH=\dfrac{1}{2}CK+\dfrac{1}{2}AH\)

\(\Rightarrow HK=AH=CK\)

Vậy \(AH=HK=CK\)(đpcm)