Tứ giác nội tiếp - Hỏi đáp

a/ Vì \(AH\perp BC\) tại H \(\Rightarrow\widehat{AHB}=90^o\)

\(AD\perp BE\) tại D \(\Rightarrow\widehat{ADB}=90^o\)

Xét tứ giác ABHD có: \(\widehat{AHB}=\widehat{ADB}=90^o\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác ABHD nội tiếp (O) ( Tứ giác có 2 góc kề 1 cạnh bằng nhau thì là tứ giác nội tiếp)

\(\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{H_1}\) ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung AD)

Xét \(\Delta ABE\) vuông tại A \(\Rightarrow\widehat{B_1}+\widehat{E_1}=90^o\) ( 2 góc nhọn phụ nhau)

\(\Rightarrow\widehat{H_1}+\widehat{E_1}=90^o\) ( vì \(\widehat{B_1}=\widehat{H_1}\) ) (1)

Ta có \(\widehat{H_1}+\widehat{DHC}=90^o\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{E_1}=\widehat{DHC}\)

Ta lại có: \(\widehat{E_1}+\widehat{DEC}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{DHC}+\widehat{DEC}=180^o\)

Xét tứ giác DECH có: \(\widehat{DHC}+\widehat{DEC}=180^o\) (cmt)

\(\Rightarrow\) Tứ giác DECH nội tiếp ( Tứ giác có tổng số đo 2 góc đối bằng 180^o là tứ giác nội tiếp)

\(\widehat{HDC}=\widehat{CEH}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CH)

Lời giải:
a)

Ta có: $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)

$\Leftrightarrow \widehat{ABE}=\widehat{ECD}=90^0$

Tứ giác $ABEF$ có $\widehat{ABE}=\widehat{EFA}=90^0$

$\Rightarrow \widehat{ABE}+\widehat{EFA}=180^0$

$\Rightarrow ABEF$ là tứ giác nội tiếp

Hoàn toàn tương tự với tứ giác $CDFE$

b)

Vì $ABCD$ là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{BCA}=\widehat{BDA}=\widehat{EDF}(1)$

Vì $CDFE$ là tứ giác nội tiếp (đã cm tại phần a)

$\Rightarrow \widehat{ACF}=\widehat{ECF}=\widehat{EDF}(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow \widehat{BCA}=\widehat{ACF}$ nên $CA$ là tia phân giác góc $\widehat{BCF}$

(đpcm)

c)

Do tam giác $EFD$ vuông tại $F$ có trung tuyến ứng với cạnh huyền là $FM$ nên $FM=\frac{ED}{2}=EM$

$\Rightarrow \triangle MEF$ cân tại $M$

$\Rightarrow \widehat{MFE}=\widehat{MEF}$

Ta có:
$\widehat{MFC}=\widehat{MFE}-\widehat{EFC}=\widehat{MEF}-\widehat{EDC}$

$=90^0-\widehat{FDB}-\widehat{BDC}$

\(=\frac{\text{sđc(AD)}}{2}-\frac{\text{sđc(AB)}}{2}-\frac{\text{sđc(BC)}}{2}=\frac{\text{sđc(CD)}}{2}=\widehat{CBM}\)

Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh $MC$ nên $BCMF$ là tứ giác nội tiếp (đpcm)

Hình vẽ:

a. xét tam giác AEM và tam giác CAM

.có góc A chung

.ta có m là điểm chính giữa của cung AB nhỏ

.tương đương cung MA = cung MB

tương đương góc ACM = góc MAB ( 2 góc nội tiếp cùng chắng 2 cung bằng nhau )

suy ra tan giác AEM đồng dạng tam giác CAN (g.g)

2.

a/ Vì M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB => cung AM=cung BM

N là điểm chính giữa của cung lớn AB => cung AN=cung BN

Xét đường tròn (O) có:

\(\widehat{MAB}\) nội tiếp chắn cung BM

\(\widehat{MCA}\) nội tiếp chắn cung AM

Mà cung AM=cung BM(cmt)

=> \(\widehat{MAB}=\widehat{MCA}\) ( các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau)

=> \(\widehat{MAE}=\widehat{MCA}\)

Xét \(\Delta AEM\) và \(\Delta CAM\) có:

\(\widehat{M}\) là góc chung

\(\widehat{MAE}=\widehat{MCA}\) (cmt)

\(\Rightarrow\Delta AEM~\Delta CAM\left(g.g\right)\)

b/ Xét đường tròn (O) có:

\(\widehat{EFD}\) là góc có đỉnh nằm trong đường tròn

\(\Rightarrow\widehat{EFD}=\dfrac{sđBM+sdAD}{2}\Leftrightarrow\widehat{EFD}=\dfrac{sđAM+sdAD}{2}\Leftrightarrow\widehat{EFD}=\dfrac{sđMD}{2}\left(1\right)\)

\(\widehat{ECD}\) là góc nội tiếp chắn cung nhỏ MD

\(\Rightarrow\widehat{ECD}=\dfrac{sđMD}{2}\left(2\right)\)

Cộng 2 vế của (1) và (2) ta được:

\(\widehat{EFD}+\widehat{ECD}=\dfrac{360^o}{2}=180^o\)

Xét tứ giác CEFD có:

\(\widehat{EFD}+\widehat{ECD}=180^o\) (cmt)

\(\Rightarrow\) Tứ giác CEFD nội tiếp (Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180^o thì là tứ giác nội tiếp)

a, Tứ giác ABCD có: \(\widehat{ACB}=\widehat{CBD}=\widehat{BDA}=\widehat{DAC}=90^o\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow\)ABCD là hình vuông

b, Hình như bồ chép sai đề òi, J là giao điểm của DM và AB nha

Xét \(\Delta CIM\) và \(\Delta AIB\) có:

\(\widehat{CIM}=\widehat{AIB}\)(đối đỉnh)

\(\widehat{MCI}=\widehat{IAB}\)(chắn \(\stackrel\frown{MB}\))

\(\Rightarrow\Delta CIM\sim\Delta AIB\left(g-g\right)\)\(\Rightarrow\dfrac{IC}{IM}=\dfrac{IA}{IB}\Leftrightarrow IC.IB=IA.IM\)

c, (O;R) có: \(\widehat{CBO}=45^o\)(góc nội tiếp = 1/2 số đo cung)

Ta có: \(\stackrel\frown{AC}=\stackrel\frown{AD}=\stackrel\frown{BD}=\stackrel\frown{BC}\left(AB=CD=2R\right)\Rightarrow\)\(\widehat{AMD}=\widehat{DMB}=45^o\)(góc nội tiếp = 1/2 số đo cung)

\(\Rightarrow\widehat{IMJ}=\widehat{IBJ}\)

Tứ giác IJBM có: \(\widehat{IMJ}=\widehat{IBJ}\left(cmt\right)\)mà 2 đỉnh M và B kề nhau \(\Rightarrow\)IJBM là tứ giác nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{IJB}+\widehat{IMB}=180^o\)(tổng 2 góc đối = 180) \(\Leftrightarrow\widehat{IJB}+90^o=180^o\Leftrightarrow\widehat{IJB}=90^o\Leftrightarrow IJ\perp AB\)mà \(PD\perp AB\left(gt\right)\Rightarrow IJ\)// \(PD\)

Tứ giác \(ACIJ\) có \(\widehat{AJI}=\widehat{ACI}=90^o\)mà 2 đỉnh C và J kề nhau nên ACIJ là tứ giác nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{IJC}=\widehat{IAC}\)mà \(\widehat{IAC}=\widehat{IBM}\)(chắn \(\stackrel\frown{MC}\))\(\Rightarrow\widehat{IJC}=\widehat{IBM}\) mà tứ giac IJBM nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{MBI}=\widehat{MJI}\)nên \(\widehat{IJC}=\widehat{MJI}\Rightarrow\)đpcm

a) Chứng minh cung IE bằng cung IF

b) chứng minh EF song song với BC và tứ giác AMND nội tiếp nha !!!!!

Bạn nào giúp mình với