Tứ giác nội tiếp - Hỏi đáp

a. xét tam giác AEM và tam giác CAM

.có góc A chung

.ta có m là điểm chính giữa của cung AB nhỏ

.tương đương cung MA = cung MB

tương đương góc ACM = góc MAB ( 2 góc nội tiếp cùng chắng 2 cung bằng nhau )

suy ra tan giác AEM đồng dạng tam giác CAN (g.g)

2.

a/ Vì M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB => cung AM=cung BM

N là điểm chính giữa của cung lớn AB => cung AN=cung BN

Xét đường tròn (O) có:

\(\widehat{MAB}\) nội tiếp chắn cung BM

\(\widehat{MCA}\) nội tiếp chắn cung AM

Mà cung AM=cung BM(cmt)

=> \(\widehat{MAB}=\widehat{MCA}\) ( các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau)

=> \(\widehat{MAE}=\widehat{MCA}\)

Xét \(\Delta AEM\) và \(\Delta CAM\) có:

\(\widehat{M}\) là góc chung

\(\widehat{MAE}=\widehat{MCA}\) (cmt)

\(\Rightarrow\Delta AEM~\Delta CAM\left(g.g\right)\)

b/ Xét đường tròn (O) có:

\(\widehat{EFD}\) là góc có đỉnh nằm trong đường tròn

\(\Rightarrow\widehat{EFD}=\dfrac{sđBM+sdAD}{2}\Leftrightarrow\widehat{EFD}=\dfrac{sđAM+sdAD}{2}\Leftrightarrow\widehat{EFD}=\dfrac{sđMD}{2}\left(1\right)\)

\(\widehat{ECD}\) là góc nội tiếp chắn cung nhỏ MD

\(\Rightarrow\widehat{ECD}=\dfrac{sđMD}{2}\left(2\right)\)

Cộng 2 vế của (1) và (2) ta được:

\(\widehat{EFD}+\widehat{ECD}=\dfrac{360^o}{2}=180^o\)

Xét tứ giác CEFD có:

\(\widehat{EFD}+\widehat{ECD}=180^o\) (cmt)

\(\Rightarrow\) Tứ giác CEFD nội tiếp (Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180^o thì là tứ giác nội tiếp)

a, Tứ giác ABCD có: \(\widehat{ACB}=\widehat{CBD}=\widehat{BDA}=\widehat{DAC}=90^o\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow\)ABCD là hình vuông

b, Hình như bồ chép sai đề òi, J là giao điểm của DM và AB nha

Xét \(\Delta CIM\) và \(\Delta AIB\) có:

\(\widehat{CIM}=\widehat{AIB}\)(đối đỉnh)

\(\widehat{MCI}=\widehat{IAB}\)(chắn \(\stackrel\frown{MB}\))

\(\Rightarrow\Delta CIM\sim\Delta AIB\left(g-g\right)\)\(\Rightarrow\dfrac{IC}{IM}=\dfrac{IA}{IB}\Leftrightarrow IC.IB=IA.IM\)

c, (O;R) có: \(\widehat{CBO}=45^o\)(góc nội tiếp = 1/2 số đo cung)

Ta có: \(\stackrel\frown{AC}=\stackrel\frown{AD}=\stackrel\frown{BD}=\stackrel\frown{BC}\left(AB=CD=2R\right)\Rightarrow\)\(\widehat{AMD}=\widehat{DMB}=45^o\)(góc nội tiếp = 1/2 số đo cung)

\(\Rightarrow\widehat{IMJ}=\widehat{IBJ}\)

Tứ giác IJBM có: \(\widehat{IMJ}=\widehat{IBJ}\left(cmt\right)\)mà 2 đỉnh M và B kề nhau \(\Rightarrow\)IJBM là tứ giác nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{IJB}+\widehat{IMB}=180^o\)(tổng 2 góc đối = 180) \(\Leftrightarrow\widehat{IJB}+90^o=180^o\Leftrightarrow\widehat{IJB}=90^o\Leftrightarrow IJ\perp AB\)mà \(PD\perp AB\left(gt\right)\Rightarrow IJ\)// \(PD\)

Tứ giác \(ACIJ\) có \(\widehat{AJI}=\widehat{ACI}=90^o\)mà 2 đỉnh C và J kề nhau nên ACIJ là tứ giác nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{IJC}=\widehat{IAC}\)mà \(\widehat{IAC}=\widehat{IBM}\)(chắn \(\stackrel\frown{MC}\))\(\Rightarrow\widehat{IJC}=\widehat{IBM}\) mà tứ giac IJBM nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{MBI}=\widehat{MJI}\)nên \(\widehat{IJC}=\widehat{MJI}\Rightarrow\)đpcm

Hình bạn tự vẽ nha, mình vẽ AB<AC.

a, Tứ giác DFGC có \(\widehat{DFC}=\widehat{DGC}\left(=90^O\right)\)=> DFGC nội tiếp.

b, Có ABDC nội tiếp (O)=> \(\widehat{GCD}=\widehat{EBD}\).

Tứ giác BEDF có \(\widehat{BED}+\widehat{FDE}=90^O+90^O=180^{^{ }O}\)=> BEDF nội tiếp=> \(\widehat{EBD}=\widehat{EFD}\)=>\(\widehat{EFD}=\widehat{GCD}\)

Lại có:\(\widehat{GFD}+\widehat{GCD}=180^o\)=>\(\widehat{GFD}+\widehat{EFD}=180^o\)=> 3 điểm E,F,G thẳng hàng

b) Xét tam giác MBN và tam giác MBC có:

góc MBC chung

mới nghĩ đến đó thôi sorry bạn

\(\text{Ta có:}\widehat{MEC}=\widehat{MFC}=90^o\text{ mà 2 góc này cùng chắn cung MC do đó: tứ giác MEFC nội tiếp}\)

\(\widehat{BEM}+\widehat{BDM}=90^o+90^o=180^o\text{ do đó: tứ giác MDBE nội tiếp}\)

\(b,\text{ đây là ứng dụng của đường thẳng sim-sơn}\)

\(\text{c,Ta có:}\widehat{BAM}=\widehat{BCM}=\widehat{EFM};\widehat{AMB}=\widehat{ACB}=\widehat{FME}\text{ do đó:}\Delta AMB\sim\Delta FME\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{AB}{EF}=\frac{BM}{EM}=\frac{IB}{KE}\text{ do đó: }\Delta IMB\sim\Delta KME\left(c.g.c\right)\text{ do đó:}\widehat{DKM}=\widehat{DIM}\text{ hay tứ giác IKDM nội tiếp do đó:}\widehat{IKM}=180^o-90^o=90^o\text{ ta có điều phải chứng minh}\)

ok chở xí

- Xét đường tròn tâm O có : Góc BDC và CEB chắn nửa đường tròn .

=> \(\widehat{BDC}=\widehat{CEB}=90^o\)

=> \(BD\perp AC,CE\perp AB\)

Mà H là giao điểm của CE và BD .

=> H là trực tâm .

=> \(AH\perp BC\) ( hay \(AF\perp BC\) ) ( đpcm )

- Xét tứ giác ADFB có : \(\widehat{ADB}=\widehat{AFB}=90^o\)

=> Tứ giác ADFB nội tiếp .

=> \(\widehat{AFD}=\widehat{ABD}\) ( = 1/2Sđ cung AD )

Mà \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\) ( =1/2 Sđ cung ED )

=> \(\widehat{AFD}=\widehat{ACE}\) ( đpcm )