Ôn tập toán 8 - Hỏi đáp

a)Ta có:

\(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{5}{8};\dfrac{OD}{OB}=\dfrac{10}{16}=\dfrac{5}{8}\)

\(\Rightarrow\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OD}{OB}\)

Mà có O là góc chung nên \(\Delta OCB\) đồng dạng với \(\Delta OAD\) (trường hợp 2)

b) ΔIAB và ΔICD có: ∠CID = ∠AIB (góc đối đỉnh) ∠ODA = ∠OBC (t/c) ⇒ ∠ICD = ∠IAB ( Định lí tổng 3 góc tam giác) .

Vậy ∠IAB và ICD có các góc bằng từng đôi một.

a) \(a\ne\frac{5}{2};\frac{2}{3}\)

Đặt \(A=\frac{2a-9}{2a-5}+\frac{3a}{3a-2}=2+\frac{2}{3a-2}-\frac{4}{2a-5}\)

\(A=2\Leftrightarrow\frac{2}{3a-2}-\frac{4}{2a-5}=0\Leftrightarrow4a-12a+8=0\)

\(\Leftrightarrow-8a-2=0\Leftrightarrow-2\left(4a+1\right)=0\Leftrightarrow a=-\frac{1}{4}\)

Vậy A=2 <=> a=-1/4

b) \(a\ne-\frac{4}{3};-4\)

Đặt \(B=\frac{3a+2}{3a+4}+\frac{a-2}{a+4}=2-\frac{2}{3a+4}-\frac{6}{a+4}\)

\(B=2\Leftrightarrow-\frac{2}{3a+4}-\frac{6}{a+4}=0\Leftrightarrow-2a-8-18a-24=0\)

\(\Leftrightarrow-20a-32=0\Leftrightarrow a=-\frac{8}{5}\)

Vậy B=2 <=> a= -8/5

Đổi 8h20' =\(\dfrac{25}{3}\)h

Lúc 8h20', quãng đường An đi được là:

\(4\times\left(\dfrac{25}{3}-8\right)=\dfrac{4}{3}\) (km)

Gọi thời gian An và Bình gặp nhau kể từ lúc Bình xuất phát là x (h)

=> Quãng đường An đi tới điểm gặp nhau kể từ lúc Bình xuất phát là: 4x (km)

Quãng đường Bình đi tới điểm gặp nhau là 3x (km)

=> Quãng đường từ nhà An đến nhà Bình là:

\(\dfrac{4}{3}+4x+3x=\dfrac{4}{3}+7x\) (km)

Theo đề, ta thấy quãng đường An đi bằng 2 lần quãng đường từ nhà An đến nhà Bình và quãng đường Bình đi bằng 2 lần quãng đường Bình đi tới điểm gặp nhau.

=> Ta có phương trình:

\(\dfrac{2\left(\dfrac{4}{3}+7x\right)}{2.3x}=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\dfrac{4}{3}+7x}{6x}=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4}{3}+7x=12x\)

\(\Leftrightarrow12x-7x=\dfrac{4}{3}\)

\(\Leftrightarrow5x=\dfrac{4}{3}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{4}{15}\) (h)

=> Quãng đường từ nhà An đến nhà Bình dài:

\(\dfrac{4}{3}+7\times\dfrac{4}{15}=3,2\) (km)

Vậy quãng đường từ nhà An đến nhà Bình dài 3,2 km.

( Bây giờ mới nghĩ ra. Đăng lên cho những bạn có cùng câu hỏi có câu trả lời.Không có ý định câu tick)

Gọi khoảng cách A và B là x: (km)

-Thời gian A nhiều hơn B là: 80^h20'-8^h=20'=20/60=1/3(h)

-Tổng quãng đường An đi là: 2x (km)

-Quãng đường bình đi là: 2x/4=x/2 (km)

Vậy điểm gặp nhau tại M với BM=x/4 (km)

Từ công thức t=s/v ta có phương trình cân bằng thời gian.

\(\dfrac{x-\dfrac{x}{4}}{4}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{\dfrac{x}{4}}{3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3x}{4.4}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{x}{3.4}\Leftrightarrow\left(\dfrac{3}{4.4}-\dfrac{1}{3.4}\right)x=\dfrac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{9-4}{3.4.4.3}\right)x=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow\dfrac{5}{9.16}x=\dfrac{1}{3}\Rightarrow x=\dfrac{9.16}{3.5}=\dfrac{3.16}{5}\left(km\right)\)

Lẻ nhỉ: bạn kiểm tra lại xem sai%

a/ \(A=\frac{2x^3-6x^2+x-8}{x-3}=2x^2+1-\frac{5}{x-3}\)

Từ đây ta thấy A nguyên khi x - 3 là ước nguyên của 5 hay

\(\left(x-3\right)=\left(-5,-1,1,5\right)\)

\(\Rightarrow x=\left(-2,2,4,8\right)\)

b/ \(B=\frac{x^4-16}{x^4-4x^3+8x^2-16x+16}=\frac{\left(x^2+4\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x^2+4\right)\left(x-2\right)^2}\)

\(=\frac{x+2}{x-2}=1+\frac{4}{x-2}\)

Để B nguyên thì x - 2 phải là ước nguyên của 4 hay

\(\left(x-2\right)=\left(-4,-2,-1,1,2,4\right)\)

\(\Rightarrow x=\left(-2,0,1,3,4,6\right)\)

(x-7)(x-5)(x-4)(x-2)=72

<=>[(x-7)(x-2)].[(x-5)(x-4)]=72

<=>(x²-9x+14)(x²-9x+20)=72

<=>(x²-9x+17-3)(x²-9x+17+3)=72 

Đặt m=x²-9x+17 (*)

PT <=> (m-3)(m+3)=72

<=>m²-3²=72<=>m²-9=72<=>m²=81<=> m E {-9;9}

+Với m=-9 ,thay vào (*),ta được:x²-9x+17=-9

=>x²-9x+17-(-9)=0=>x²-9x+26=0

=>x²-\(2.x.\frac{9}{2}\) + \(\left(\frac{9}{2}\right)^2+\frac{23}{4}\)=0

=> \(\left(x-\frac{9}{2}\right)^2+\frac{23}{4}=0\)

Vì \(\left(x-\frac{9}{2}\right)^2\) > 0 với mọi x

=> \(\left(x-\frac{9}{2}\right)^2+\frac{23}{4}\) > 23/4  > 0

=>PT vô nghiệm

+m=9,thay vào PT (*),ta đc: x²-9x+17=9

=>x²-9x+17-9=0

=>x²-9x+8=0

=>x²-x-8x+8=0

=>x(x-1)-8(x-1)=0

=>(x-1)(x-8)=0

=>x=1 hoặc x=8

Vậy PT có tập nghiệm S = {1;8}

\(\left(x-7\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)\left(x-4\right)\)

\(\left(x^2-9x+14\right)\left(x^2-9x+20\right)=72\)

Đặt : \(x^2-9x+14=t\left(t>0\right)\)

\(\Rightarrow t\left(t+6\right)-72=0\Rightarrow t_1=6\left(tm\right)'t_2=-12\left(loại\right)\)

Với : \(t=6\Rightarrow x^2-9x+14=6\)

\(\Rightarrow x_1=8;x_2=1\)

(x-7)(x-5)(x-4)(x-2)=72 

<=> (x-7)(x-2)(x-5)(x-4)=72 

<=> (x^2-9x+14)(x^2-9x+20)=72

đặt t=x^2-9x+17 (1)

pt trở thành 

(t-3)(t+3)=72 

<=> t^2-81=0<=> t^2=81<=> t=9 hoặc t=-9 

thế t vào (1)

th1 x^2-9x+17=9

<=> x^2-9x+8=0

giải pt => x=8 hoặc x=1 

th2 x^2-9x+17=-9 

<=> x^2-9x+26=0

giải pt => pt vô nghiệm 

S={8;1}

Chắc hoc24 ko biết là Nguyen Quang Trung copy đâu 

Đặt b+c-a=x, c+a-b=y, a+b-c=z thì 2a =y+z, 2b +x+z, 2c +x+y. Ta có:

\(\dfrac{2a}{b+c-a}+\dfrac{2b}{a+c-b}+\dfrac{2c}{a+b-c}\)

= \(\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{x+y}{z}\)

=\(\left(\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}\right)+\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)+\left(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\right)\)(1)

Mà \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2=\dfrac{x^2+y^2-2xy}{xy}=\dfrac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\)( vì xy >0)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\)(2)

Tương tự: \(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\ge2\)(3)

\(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\ge2\)(4)

Từ (1),(2),(3) và (4):

\(\Rightarrow\)\(\left(\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}\right)+\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)+\left(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\right)\)\(\ge6\)

Hay \(\dfrac{2a}{b+c-a}+\dfrac{2b}{a+c-b}+\dfrac{2c}{a+b-c}\) \(\ge6\)

Do đó: \(\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\ge3\)(đpcm)

C1 : Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có :

\(\sum\dfrac{a}{b+c-a}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}}\ge3\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

C2 : Theo Cauchy Schwarz :

\(\sum \frac{a}{b+c-a}\geq \sum \frac{a^2}{ab+ac-a^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+ca+bc)-a^2-b^2-c^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\frac{2}{3}(a+b+c)^2-\frac{1}{3}(a+b+c)^2}=3\)

(đpcm).

Giả sử : \(y=ax\) 

Thay vào giả thiết : \(\frac{ax}{x+ax}+\frac{2\left(ax\right)^2}{x^2+\left(ax\right)^2}+\frac{4\left(ax\right)^4}{x^4+\left(ax\right)^4}+\frac{8\left(ax\right)^8}{x^8-\left(ax\right)^8}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{x.a}{x.\left(a+1\right)}+\frac{x^2.2a^2}{x^2\left(1+a^2\right)}+\frac{x^4.4a^4}{x^4\left(1+a^4\right)}+\frac{x^8.8a^8}{x^8\left(1-a^8\right)}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{a+1}+\frac{2a^2}{a^2+1}+\frac{4a^4}{a^4+1}+\frac{8a^8}{1-a^8}=4\)

Tới đây bạn giải ra , tìm a rồi thay vào y = ax  là ra :)

Gọi x là số tự nhiên có hai chữ số 9<x<100 và x ∈ N
Nếu viết thêm một chữ số 2 vào bên trái và chữ số 2 vào bên phải số x ta được số tự nhiên có 4 chữ số là: 2×2 (x có 2 chữ số0
Ta có 2×2 =153x
Suy ra phương trình 2000 + 10x + 2 = 153x ⇔ 2002 = 143x ⇔ x =14
x= 14 thỏa mãn điều kiện bài toán nên số cần tìm là 14

a, Ta có : M-1= \(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}-1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}-1+\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}+1\)=\(\frac{\left(a-b\right)^2-c^2}{2ab}+\frac{\left(b-c\right)^2-a^2}{2bc}+\frac{\left(a+c\right)^2-b^2}{2ac}\)

=\(\frac{\left(a-b-c\right)\left(a-b+c\right)}{2ab}+\frac{\left(b-c-a\right)\left(b-c+a\right)}{2bc}+\frac{\left(a+c-b\right)\left(a+b+c\right)}{2ac}\)

=\(\frac{\left(a-b-c\right)\left(a-b+c\right)c+\left(b-c-a\right)\left(b-c+a\right)a+\left(a+c-b\right)\left(a+c+b\right)b}{2abc}\)

=\(\frac{\left(ac-bc-c^2\right)\left(a-b+c\right)-\left(a+c-b\right)\left(ba-ca+a^2\right)+\left(a+c-b\right)\left(ab+bc+b^2\right)}{^{ }2abc}\)

=\(\frac{\left(a+c-b\right)\left(ac-bc-c^2-ba+ca-a^2+ab+bc+b^2\right)}{^{ }2abc}\)

=\(\frac{\left(a+c-b\right)\left[b^2-\left(a-c\right)^2\right]}{2abc}=\frac{\left(a+c-b\right)\left(b-a+c\right)\left(b+a-c\right)}{2abc}\) (*)

a, vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên a,b,c>0 và a+b-c>,a+c-b>0,

b+c-a>0 \(\Rightarrow\) (*) >0 nên M-1>0 \(\Rightarrow\)M>0

b,Với M=1, ta có M-1 = (*)=0 \(\Rightarrow\)(a+c-b)(b-a+c)(b+a-c)=0

\(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}a+b=c\\a+c=b\\b+c=a\end{matrix}\right.\)

. TH1 : a+b=c\(\Rightarrow\) \(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}-1=\frac{\left(a-b\right)^2-\left(a+b\right)^2}{2ab}=\frac{-4ab}{2ab}=-2\)\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=-1\)

mặt khác a+b=c thì a-c=b \(\Rightarrow\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}+1=\frac{\left(a+c\right)^2-\left(a-c\right)^2}{2ac}=\frac{4ac}{2ac}=2\)

\(\Rightarrow\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=1\)\(\Rightarrow\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=1\)(đpcm)

. TH2 và TH3 tương tự như trường hợp 1 ta chứng minh được bài toán

Do xe máy khởi hành trước ô tô 1 giờ nên khi ô tô và xe máy gặp nhau sau x giờ kể từ khi ô tô khởi hành thì thời gian xe máy đi được đến lúc gặp nhau là: x + 1 (giờ)
Quãng đường ô tô đi được là 48x (km)
Quãng đường xe máy đi được là: 32(x+1) (km)
Mà hai quãng đường trên bằng nhau nên ta có phương trình:
48x = 32(x+1)
Vậy phương trình biểu thị việc ô tô gặp xe máy sau x giờ, kể từ khi ô tô khởi hành là: 48x = 32(x+1)

48x=32+32x

quá đơn giản

ở trên  a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)+0 suy ra a=b=c

thay vào k=a^3x3-3a^3=3a^2 -3a+5=3a^2+-3a+5

min của k là min của 3a^2-3a+5 là bằng 17/4

x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y)3 – 3x2y – 3xy2 + z3 – 3xyz

= (x + y)3 + z3 – 3x2y – 3xy2 - 3xyz 

= (x + y +z)[(x + y)2 – (x + y)z + z2)] - 3xy(x + y + z)

= (x + y + z)(x2 +2xy + y2 – xz – yz +z2 – 3xy)

= (x + y + z)(x2 + y2 +z2 – xy - yz – xz)

x​³ + y³ + z³ - 3xyz

= [ (x³+y³)+z³] -3xyz

=[ (x+y)³ +z³ ​+3xy (x+y) ] -3xyz

=[(x+y)³ +z³] +3x²y+3xy2​-3xyz

=(x+y+z)[(x+y)² -z(x+y)+z²] -3xy(x+y+z)

=(x+y+z) [x²​+2xy +y² - xz-yz +z² -3xy ]

=(x+y+z) (x²+y²+z² -xy-yz-zx)