Chương 2: TỔ HỢP. XÁC SUẤT

\(1\le x_1\le x_2\le x_3\le9\)

\(\Rightarrow1\le x_1< x_2+1< x_3+2\le11\)

\(\Rightarrow C_{11}^3\) số thỏa mãn

Chọn 5 chữ số vào vị trí khác 0: có \(9^5\) cách

5 chữ số này tạo ra 5 khe trống (bỏ qua khe đầu tiên), xếp 3 chữ số 0 vào 5 vị trí đó: \(C_5^3\) cách

\(\Rightarrow9^5.C_5^3\)

Không gian mẫu: \(2^8\)

Nếu số chữ số 1 nhiều hơn 5, theo nguyên lý Dirichlet ta luôn có ít nhất 2 chữ số 1 đứng cạnh nhau =>loại

Do đó số chữ số 1 phải nhỏ hơn 5.

Tới đây chia TH thôi. 

0 chữ số 1: có 1 số duy nhất

1 số 1, 7 số 8: \(C_8^1\) số

2 số 1, 6 số 8: \(C_7^2\)

x số 1, 8-x số 8: \(C_{9-x}^x\) số

Cộng lại là được

Có 2 cách xếp 3 số 123 (là 123 và 321). Bây giờ coi 3 chữ số này là 1 chữ số

Chọn 4 chữ số còn lại: \(C_7^4\) cách

Chọn 4 chữ số có mặt số 0: \(C_6^3\) cách

Hoán vị 5 "chữ số": \(5!\)

Hoán vị 5 "chữ số" sao cho 0 đứng đầu: \(4!\)

\(\Rightarrow2.\left(C_7^4.5!-C_6^3.4!\right)\) số

\(0\le x_5\le x_4\le x_3\le x_2\le x_1\le9\)

\(\Rightarrow0\le x_5< x_4+1< x_3+2< x_2+3< x_1+4\le13\)

\(\Rightarrow C_{14}^5-1\)  số (loại trừ trường hợp tất cả đều bằng 0)

Xếp 6 học sinh lớp B và C: 6! cách

Xếp 6 học sinh lớp A xen kẽ với 6 bạn nói trên: \(6!.2\) cách

\(\Rightarrow6!.6!.2\) cách xếp

Chọn đỉnh A đầu tiên có 20 cách

Gọi 3 đỉnh còn lại là B, C, D.

Do 4 đỉnh ko liền kề, giả sử giữa A và B có x đỉnh (của đa giác), giữa B và C có y đỉnh, giữa C và D có z đỉnh, giữa D và A có t đỉnh (với x;y;z;t nguyên dương)

Ta được: \(x+y+z+t=16\)

Quay về bài toán chia kẹo Euler, pt trên có \(C_{16-1}^{4-1}\) nghiệm. 

Do đó tổng cộng có: \(\dfrac{20.C_5^3}{4}\) tứ giác thỏa mãn (chia 4 do vai trò 4 đỉnh như nhau)

Đề bài cực kì vô lý, vì không gian mẫu là vô cực (tứ giác chỉ có 3 đỉnh là đỉnh đa giác, đồng nghĩa đỉnh còn lại có vô số cách chọn, nên không gian mẫu bằng vô cùng dẫn tới xác suất luôn bằng 0)

Không giam mẫu: \(7!\)

A và B không đứng đầu hàng (nên còn 5 vị trí cho A và B): có \(A_5^2\) cách xếp 2 bạn này, còn lại 5 bạn có \(5!\) cách xếp

\(\Rightarrow7!-5!.A_5^2\) cách xếp thỏa mãn

Bài này rất đơn giản, chọn 2 chữ số chẵn và xếp thứ tự cho chúng có \(A_4^2\) cách

Còn lại 3 chữ số đều lẻ, chọn và xếp thứ tự, có \(A_3^3\) cách

\(\Rightarrow A_4^2.A_3^3\) số

TH1 : Có 4 câu hỏi dễ, 1 câu tb, 2 câu khó \(C_{20}^4.C_{15}^1.C_5^2\)

TH2 : 4 câu dễ, 2 câu tb, 1 câu khó \(C_{20}^4.C_{15}^2.C_5^1\)

TH3 : 5 câu dễ, 1 câu tb, 1 câu khó \(C_{20}^5.C_{15}^1.C_5^1\)

Xác suất : \(\dfrac{915}{3848}\)