Chương 2: TỔ HỢP. XÁC SUẤT - Hỏi đáp

\(\left(x^3+x^{-3}\right)^{18}=\sum\limits^{18}_{k=0}C^k_{18}.x^{3\left(18-k\right)}.x^{-3k}=\sum\limits^{18}_{k=0}C^k_{18}x^{54-6k}\)

Số hạng không chứa \(x\Rightarrow54-6k=0\Rightarrow k=9\)

Hệ số: \(C^9_{18}=48620\)

2/ Chọn ngẫu nhiên 7 quyển có \(C^7_{21}=116280\) cách

Các trường hợp có ít nhất 2 toán 2 lý 2 hóa: {3 toán 2 lý 2 hóa}; {2 toán 3 lý 2 hóa}; {2 toán 2 lý 3 hóa}

\(\Rightarrow\) có \(C^3_{10}.C^2_6.C^2_5+C^2_{10}.C^3_6.C^2_5+C^2_{10}.C^2_6.C^3_5=33750\) cách

Xác suất \(P=\dfrac{33750}{116280}=\dfrac{375}{1292}\)

Cách tính đúng rồi đấy, nhưng quá trình bấm máy thì bạn phải tự bấm lại cho chắc ăn

Câu 1:

Không gian mẫu: \(n\left(\Omega\right)=12!\)

Đầu tiên, xếp thứ tự cho 8 bạn nam: có \(8!\) cách

8 bạn nam sẽ tạo ra 9 "khe trống", tính cả 2 đầu, ta xếp 4 bạn nữ vào 9 vị trí này \(\Rightarrow\) có \(A^4_9\) cách xếp

\(\Rightarrow\) có \(8!A^4_9\) cách xếp để 2 bạn nữ ko cạnh nhau

Xác suất \(P=\dfrac{8!A^4_9}{12!}=\dfrac{14}{55}\)

Câu 2 :

\(A=\left\{1;2;3;4;5;6;7;8\right\}\)

Gọi số có 5 chữ số là \(\overline{abcde}\)

a/ Để chia hết cho 2 \(\Rightarrow e\) chẵn

Ta chia A làm 3 nhóm có cùng số dư khi chia 3: \(\left\{1;4;7\right\}\) ; \(\left\{2;5;8\right\}\) ; \(\left\{3;6\right\}\)

- Nếu \(e=6\Rightarrow a+b+c+d⋮3\Rightarrow\) {một trong 4 số bằng 3 và 3 số còn lại đồng dư với nhau khi chia 3\(\Rightarrow4!1.2\) cách chọn} hoặc {không số nào chia hết cho 3; 2 số đồng dư 1 khi chia 3 và 2 số đồng dư 2 khi chia 3\(\Rightarrow4!.1.C^2_3.C^2_3\) cách chọn}

- Nếu e=4 \(\Rightarrow a+b+c+d\) chia 3 dư 2 =>{2 số chia hết cho 3; 2 số chia 3 dư 1 \(\Rightarrow4!.1.1.1\) cách} hoặc {1 số chia hết cho 3; 1 số chia 3 dư 1 và 2 số chia 3 dư 2 \(\Rightarrow4!.1.2.2.C^2_3\)}

- Nếu e=2 hoặc e=8 =>e có 2 cách chọn \(\Rightarrow a+b+c+d\) chia 3 dư 1 \(\Rightarrow\) {2 số chia hết cho 3; 2 số chia 3 dư 2 \(\Rightarrow4!.2.1.1\)} hoặc {1 số chia hết cho 3; 2 số cho 3 dư 1; 1 số chia 3 dư 2 \(\Rightarrow4!.2.2.C^2_3.2\)}

\(\Rightarrow\) có \(4!\left(2+9+1+12+2+24\right)=1200\) số

b/ Chọn 2 số 1 và 3: có 1 cách chọn, hoán vị 2 số này có 2!=2 cách

Chọn 3 số từ 6 số còn lại: \(C^3_6\) cách

Vậy tổng cộng có: \(4!.2.C^3_6=960\) số

câu 2 b) gọi \(\overline{abcdef}\) là số cần tìm

đặt số 1 và 3 gần nhau vào 5 vị trí : 10 cách ( đếm )

đặt 6 số vào 3 vị trí còn lại \(C_6^3\)

QTN \(10C_6^3\)

Cứ mỗi hai điểm phân biệt lại cho 2 vecto nên tổng số vecto thỏa mãn là:

\(2.C_n^2=A_n^2\)

Không gian mẫu \(n\left(\Omega\right)=C_{20}^3=1140\)

a/ Gọi A là biến cố "lấy được một quả đỏ, một quả trắng, một quả xanh":

\(n\left(A\right)=C_5^1.C^1_7.C^1_8=5.7.8=280\) \(\Rightarrow\)\(P\left(A\right)=\dfrac{280}{1140}=\dfrac{14}{57}\)

b/ Chắc bạn chép sai đề, chỉ lấy 3 quả mà lại còn ít nhất cả ba đều đỏ thì người ta ghi luôn là "cả 3 quả đều đỏ" có gọn hơn không? Mình đoán đề gốc là "lấy được ít nhất một quả màu đỏ". Quyết định làm cả 2 trường hợp:

- Nếu đề yêu cầu cả 3 quả đều đỏ \(\Rightarrow n\left(B\right)=C_5^3=10\) \(\Rightarrow\)xác suất \(P\left(B\right)=\dfrac{10}{1140}=\dfrac{1}{114}\)

- Nếu đề yêu cầu ít nhất một quả đỏ:

Gọi C là biến cố "lấy được ít nhất một quả đỏ" \(\Rightarrow\overline{C}\) là biến cố "không lấy được quả đỏ nào"

\(n\left(\overline{C}\right)=C_{15}^3=455\)

\(\Rightarrow n\left(C\right)=n\left(\Omega\right)-n\left(\overline{C}\right)=1140-455=685\) \(\Rightarrow\)\(P\left(C\right)=\dfrac{685}{1140}=\dfrac{137}{228}\)

Số cách sắp xếp hai bạn Ngọc-Ánh ngồi cạnh nhau và ngồi 2 ghế đầu: 2!=2

Xếp 8 bạn còn lại vào 8 ghế, có 8! cách

Vậy tổng cộng có 8!2 cách xếp

Mỗi giao điểm của hai đường chéo ứng với một và chỉ một tập hợp gồm 4 điểm từ tập hợp 7 đỉnh của đa giác.

Vậy có \(C^4_7=35\) giao điểm

Ta sử dụng phương pháp "vách ngăn" để giải loại bài này.

Đầu tiên, sắp xếp 5 quyển sách Toán vào kệ, có 5! cách

5 quyển sách Toán sẽ tạo ra 6 khe trống (tính cả hai đầu). Xếp 3 quyển sách tiếng Anh vào 6 khe trống đó thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn.

Số cách sắp xếp 3 quyển sách tiếng Anh vào 6 khe trống là: \(A_6^3\)

Vậy tổng cộng có \(5!A_6^3=14400\) cách

Lời giải:

Bạn sử dụng công thức tính tổ hợp chập thôi

\(15C^k_n=7C^{k+1}_n\Leftrightarrow 15.\frac{n!}{k!(n-k)!}=7.\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}\)

\(\Leftrightarrow 15.\frac{n!}{k!(n-k-1)!(n-k)}=7.\frac{n!}{k!(k+1)(n-k-1)!}\)

\(\Leftrightarrow \frac{15}{n-k}=\frac{7}{k+1}\Rightarrow 15(k+1)=7(n-k)\)

\(\left(x^3+2x^2+x+2\right)^n=\left[x^2\left(x+2\right)+\left(x+2\right)\right]^n=\left(1+x^2\right)^n.\left(2+x\right)^n\)

Áp dụng khai triển nhị thức Newton:

\(\left(1+x^2\right)^n.\left(2+x\right)^n=\sum\limits^n_{k=0}C_n^kx^{2n-2k}.\sum\limits^n_{l=0}C_n^l.2^l.x^{n-l}=\sum\limits^n_{k=0}\sum\limits^n_{l=0}C_n^k.C_n^l.2^l.x^{3n-2k-l}\)

\(3n-3=3n-2k-l\Rightarrow2k+l=3\Rightarrow\left(k;l\right)=\left\{\left(0;3\right),\left(1;1\right)\right\}\)

\(\Rightarrow\) Hệ số của \(x^{3n-3}\) là:

\(C_n^0.C_n^3.2^3+C_n^1.C_n^1.2^1=\dfrac{18683.n}{3}\Leftrightarrow\dfrac{n!.8}{\left(n-3\right)!3!}+2n^2=\dfrac{18683.n}{3}\)

\(\Leftrightarrow4n\left(n-1\right)\left(n-2\right)+6n^2-18683n=0\)

\(\Leftrightarrow4n^3-6n^2-18675n=0\)

\(\Rightarrow n=0\) (loại) \(\Rightarrow\) Bạn chép đề sai

Sau khi thử lại, nếu hệ số đã cho không phải \(\dfrac{18683n}{3}\) mà là \(\dfrac{18638n}{3}\) (đổi thứ tự hàng chục và đơn vị ở tử số), thì pt trên trở thành:

\(4n\left(n-1\right)\left(n-2\right)+6n^2-18638n=0\)

\(\Leftrightarrow4n^3-6n-18630n=0\)

\(\Rightarrow n=0\) (loại) hoặc \(n=69\) (nhận), ko cần quan tâm nghiệm ko nguyên.

Kết luận: bạn ghi sai số liệu.

\(\left(x^3+2x^2+x+2\right)^n=\left(x+2\right)^n\left(x^2+2\right)^n\)

SHTQ \(C_n^k.x^{n-k}.2^k.C_n^i.\left(x^2\right)^{n-i}.2^i=C_n^k.C_n^i.2^{i+k}.x^{3n-k-2i}\)

\(x^{3n-3}\Leftrightarrow3n-3=3n-k-2i\Leftrightarrow k+2i=3\)

mà k,i\(\in N\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}k=3;i=0\\k=1;i=1\end{matrix}\right.\)

mà hệ số \(=?????\)

\(\Leftrightarrow C_n^1.C_n^1.2^{1+1}+C^3_n.C_n^0.2^3=??????\)

bấm máy giải tìm đc n

Có thể lập được 6.6=36 số có 2 chữ số khác nhau

Gọi số có 2 chữ số là \(\overline{ab}\)

- \(b=0\Rightarrow a\) có 6 cách chọn

- \(b\ne0\)\(\Rightarrow b\) có 3 cách chọn, a có 5 cách chọn

\(\Rightarrow\) có thể lập được \(3.5+6=21\) số chẵn

\(\Rightarrow\)xác suất \(P=\dfrac{C_{21}^2}{C_{36}^2}=\dfrac{1}{3}\)

\(\dfrac{3!.4.5.\left(m-1\right)!.m.\left(m+1\right)}{m\left(m+1\right)3!.\left(m-1\right)!}\)

=\(4.5\)

=20